Isabella d'Aragona

Alpha, beta e gamma, x,y,z: quanti linguaggi bisogna usare?

Sandra Lucente

sandra.lucente@uniba.it           www.dm.uniba.it/~lucente/

    Questo articolo è diviso in due parti indipendenti.

    La prima parte è divulgativa e vi si discute della relazione tra linguaggio naturale (la lingua che parliamo), linguaggio grafico (grafici, immagini e schemi) e linguaggio matematico (formule).

    La seconda parte è didattica e contiene alcuni esempi di errori espositivi che si riscontrano nei compiti o negli esami orali ai corsi del primo anno di università. Questi errori sono soprattutto dovuti a carenze di interfaccia linguaggio naturale/linguaggio matematico nella formazione dello studente.

PARTE PRIMA: I TRE LINGUAGGI DELLA CONOSCENZA

Partiamo da due immagini piuttosto note:

  • Una donna insegna geometria in una illustrazione trecentesca;

  • L’Euclide di Raffaello scrive su una lavagna di ardesia.

    La somiglianza delle immagini è duplice: entrambi i maestri sono circondati da attenti e un po’ agitati allievi, entrambi i maestri scrivono in bianco.

      Geometria: misura della terra. Deve essere stato un solco per terra il primo teorema. Una terra scura e una immagine geometrica bianca. Attorno un nugolo di persone a sentire le motivazioni per cui l’aratro fendeva una idea buona per fare testamento. Qualche migliaio di anni prima, su buie pareti di roccia si tracciavano tacche di gesso o calce per numerare giorni e/o animali. Anche l’idea dei numeri nasceva chiara su sfondo scuro.

    Per lo scrittore c’è il terrore della pagina bianca mentre non si è mai sentito parlare della paura della lavagna nera per un matematico! Si scrivono formule, si tracciano figure, si aggiungono parole, l’errore è possibile, il gesso si cancella. La lavagna piena di formule e grafici mette soggezione solo a chi asserisce con orgoglio “della matematica non ho mai capito tanto”.

    Un noto giornalista nel 2015 scriveva “gli italiani non amano la matematica forse perché ce ne è troppa: il numero di telefono, i numeri, il bancomat” e lamentava che per cercare un brano sullo stereo dovesse digitare un numero. E se avessimo usato le lettere per il bancomat? E per i numeri di telefono? Non sarebbe stato più complicato il linguaggio naturale rispetto a quello numerico? Basti pensare alle dimensioni della tastiera e al tempo necessario per cercare le lettere e non i numeri.

    Questo esempio banale ci fa comprendere che il linguaggio matematico è potente perché sintetico. Questo consente di manipolare una notevole quantità di dati. L’esempio più spesso fornito sono gli algoritmi che gestiscono i social. A proposito di questo, è curioso osservare che ci sono social solo immagini, social solo parole ma non può esservi un social solo formule!

    In realtà vi è stato un momento nella storia della matematica in cui si voleva formalizzare tutta la matematica attraverso un insieme finito di assiomi, e dimostrare che questi assiomi non conducevano a contraddizioni e scrivere il tutto in linguaggio matematico basandosi sull’aritmetica tramite la logica formale. Ma questo meccanismo si inceppò quando Kurt Godel tradusse “io sto mentendo” in formule che risultatono indecidibili (si veda ad esempio [4]). Anche nella storia della matematica i momenti di incontro tra proposizioni logiche e proposizioni narrative sono stati fondamentali.

   Anche nella storia della matematica i momenti di incontro tra proposizioni logiche e proposizioni narrative sono stati fondamentali. Facciamo un esempio più remoto. Proviamo a spiegare il teorema di Pitagora. Non basterà scrivere \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\), ma nemmeno potremo sperare che si noti l’ipotesi del teorema se accompagniamo la formula solo da un triangolo rettangolo di cateti \(\displaystyle a,b\) e ipotenusa \(\displaystyle c\). La frase “In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti” è necessaria a sottolineare la validità del teorema per tutti i triangoli, la relazione tra l’oggetto algebrico “\(\displaystyle c^2\)” e l’oggetto geometrico “area del quadrato costruito sull’ipotenusa” e suggerire l’ambito di applicazione del teorema: la geometria piana.

    La distinzione dei linguaggi è una genesi della divisione della cultura scientifica da quella umanistica asserita solo a partire dal romanticismo. La cultura greca mescolava racconti mitologici e filosofia dopo aver oltrepassato una porta con la scritta “non entri nessuno che non conosca la geometria”. Lo stesso vale per i giganti del Seicento che furono insieme scienziati e filosofi e per gli autori dell’Enciclopedia ottocentesca.

    Ma davvero non vi è matematica in Leopardi, la cui più famosa poesia si intitola Infinito? Nella biblioteca di Recanati vi erano tre copie degli elementi di Euclide, opere di Galileo, Newton e Cartesio a fare siepe che sicuramente il poeta andava mirando sedendo (si veda [1]).

    Viceversa Leopardi scriveva nel suo Zibaldone una frase che sottolinea la necessità del linguaggio naturale per la nascita del linguaggio matematico “L’uomo senza la cognizione di una favella, non può concepire l’idea di un numero determinato.” Senza addentrarsi nelle implicazioni di questa frase, ne risulta che per raccontare la realtà nero su bianco o bianco su nero, bisogna conoscere più linguaggi.

    Riavvicinare lettere e numeri, usare grafici intercalati a didascalie e formule è il solo modo di procedere nel sapere, poggiandosi su quello attuale. Preferire uno dei tre linguaggi significa tornare indietro. Il compito del divulgatore scientifico è anche questo: rafforzare il legame tra i linguaggi. Raccontare la scienza, in particolare la matematica, mediante immagini e parole che la semplifichino e portare il lettore/ascoltatore a desiderare uno studio più dettagliato dell’argomento. In quel momento ci si renderà conto della necessità di approfondire il linguaggio matematico.

TRE STORIE EMBLEMATICHE

    Nella prima storia c’è una parola che spostandosi dalla letteratura alla matematica cambia di genere!

    A Bari nel 1500 Isabella d’Aragona fondò l’Accademia degli Incogniti dove la stessa Duchessa declamava le sue poesie. La Duchessa era molto legata a Leonardo Da Vinci ma entrambi non sapevano ancora che la parola “incogniti” sarebbe poi stata regalata al linguaggio scientifico. Dopo Cartesio e l’introduzione della geometria analitica le bellissime immagini del Codice Atlantico si possono conservare in poche righe di formule.

     In Italia fu, probabilmente, un’altra donna Maria Gaetana Agnesi (che “governava” stavolta la matematica) a usare la parola incognita al femminile per indicare le variabili delle formule (si veda [2]). C’è un modo di far incontrare incogniti e incognite: prendiamo le illustrazioni dei solidi regolari fatte da Leonardo, aggiungiamoci i significati nella filosofia platonica ed anche la generalissima formula di Eulero per ottenere una poliedrica bellezza.

    Scindere l’immagine dal testo matematico e dalla narrazione del concetto illustrato ci impoverisce.

    La seconda storia è più recente. Si tratta di un errore che parte da un numero e torna all’alfabeto.

    Il matematico Edward Kasner scrisse nel 1940 un testo, già dal titolo, di chiara unione tra i vari linguaggi: Matematica ed Immaginazione (si veda [3]). Qui raccontò di una chiacchierata con suo nipote di nove anni in cui il bimbo dette al numero 1 seguito da cento zeri \(10^{100}\) il nome googol.

    Quando una trentina di anni fa uno ex-studente di matematica Sergey Brin con un ex-studente di informatica Larry Page registrano un dominio per un nuovo motore di ricerca sul web, forse ambivano a mostrare un googol di pagine in brevissimo tempo, invece per un errore nella scrittura del dominio nasce google!

    La matematica che usiamo ogni giorno, più che quella della spesa al supermercato è quella del motore di ricerca più famoso che regala a Larry Page e Sergey Brin una impresa talmente vasta da dover essere gestita dal 2015 tramite una holding. Quale nome scelgono stavolta i fondatori? Non più un nome di numero, ma due lettere! Proprio in forza del legame indissolubile tra i linguaggi, la Google Inc. fa capo alla Alphabet Inc. E con una seconda questione di domini (poiché alphabet.com non era disponibile) il sito di questa impresa della conoscenza è abc.xyz, in vero incontro tra incogniti e incognite!

    Infine una storia a fumetti per sincerarsi che da sempre i linguaggi sono uniti e tali lo resteranno: Eta Beta, l’uomo del futuro tra i personaggi disneyani, ha nella versione italiana un nome con due belle lettere greche. Viceversa nelle Nuove Avventure di Paperinik si trovano i gemelli 1-2 uno buono e uno malvagio. Perché abbiamo sempre bisogno di scindere in dualità bene-male, giusto-sbagliato, bianco-nero, cultura umanistica- cultura scientifica ma sappiamo che è impossibile farlo. Lo stesso vale per parole e formule.

PARTE SECONDA: ESPORRE ESERCIZI DI MATEMATICA CON TRE LINGUAGGI

    Gli insegnanti devono curare particolarmente il legame tra i linguaggi. In particolare nella esposizione di un concetto matematico si deve forzare il linguaggio naturale anche attraverso la storia di quel concetto ed il suo utilizzo. Non spiegare la matematica tramite un linguaggio semplice ma accattivante spesso porta a non farla comprendere. Viceversa nella guida alla soluzione dei problemi si deve richiedere anche la cura dell’aspetto linguistico.

    Una soluzione di una semplice disequazione non deve essere un agglomerato di formule in un codice segreto tra insegnante e studente. Il linguaggio matematico deve essere quello universale e la lettura deve essere possibile per chiunque si avvicini al compito. La risposta deve essere data in modo esplicito. Le cose belle che si fanno, si raccontano. Un compito in particolare non è uno schema o una successione di formule, è il racconto di un processo mentale. Solo chiedendo questa narrazione si può dare allo studente la soddisfazione di aver realizzato qualcosa mentre fa matematica.

    Spesso nei compiti del primo anno di università si incontrano solo formule e grafici, le parole e i segni di interpunzione sono scomparsi. Questa genera una difficoltà linguistica nella comprensione di una lezione universitaria, nel prendere appunti, negli esami scritti e orali soprattutto ai primi anni delle facoltà scientifiche. In pochi esempi e alcuni suggerimenti non pretendiamo di dare consigli in una direzione che è davvero complessa, ma qualche semplice idea che speriamo porti a compiti più corretti e matematica più amata.

Esempio 1. I simboli diversi sono parole diverse.

    La matematica è un linguaggio sintetico e quindi evita i sinonimi (quelli che ci sono sono dovuti a nascite contemporanee di uno stesso concetto). In particolare una freccia, una doppia freccia sono usati in ambiti proprio diversi. La doppia freccia di implicazione è un connettivo primitivo e va usato tra due proposizioni con il brivido emotivo di chi sta creando un teorema. La freccia singola ha invece prima e dopo un insieme (notazione per le funzioni) oppure una variabile e un elemento di \(\mathbb{R}\) ampliato (notazione per i limiti).

    Il compito si deve poter leggere come se fosse una poesia. Ha dei versi, si deve andare a capo in modo opportuno, tra queste formule-verso devono esservi punti o punti e virgola, non una sequenza indistinta di uguali e di freccette. Gli schemi o i grafici devono essere posti al posto giusto della “narrazione” non in zone arbitrarie del foglio. Un insegnante di italiano si rifiuterebbe di considerare tema una mappa concettuale. Ad un insegnante di matematica invece è chiesto di considerare correggibile qualunque scritto anche il più labirintico. A lungo andare, questa concessione fa sì che risolvere un problema risolto sia più importante della esposizione del ragionamento per ottenere la soluzione.

Esempio 2. = vuol dire uguale.

    Accade sempre più spesso di trovare, nei compiti, luguale tra due oggetti diversi. Dopo anni trascorsi a scrivere con la penna verde le centinaia, con la rossa le decine e con la blu le unità, si scrivono finalmente e liberamente in nero tutti i concetti possibili. Forse il monocolore rende le cose uguali? Con la dovuta ironia potremo pensare a scrivere di viola un polinomio (elemento dellanello dei polinomi), di turchese la funzione polinomiale associata e di colore ocra lequazione polinomiale corrispondente di cui si cercano le radici. Di certo molti studenti confondono i tre concetti.

    Ma esistono casi ancora più banali. Il grande classico è l’uguaglianza in luogo della approssimazione. Pigreco è uguale a 3.14 per quasi tutti gli studenti, ovvero per tutti, visto che anche chi scrive potrebbe fare confusione tra circa e uguale! Quando si correggono esercizi sulle successioni capita anche di leggere che un elemento della successione è uguale allinsieme dei suoi elementi e poi al limite della successione. I maestri bourbakisti perdevano mezz’ora di lezione a raccontare la differenza tra linsieme vuoto e linsieme ridotto al solo insieme vuoto (il cappello e la scatola dei cappelli). Non vogliamo tornare al super-formalismo, ma almeno prendere coscienza di questa confusione sul simbolo “=“. L’uguaglianza è il concetto primitivo per eccellenza in matematica, il docente non può spiegarlo ma deve sempre correggere l’allievo che lo utilizza in maniera errata.

Esempio 3. Il congiuntivo.

    Provate a raccontare il “dilemma del prigioniero”, in breve vi troverete nel dilemma del congiuntivo. Eppure è proprio luso del congiuntivo a far comprendere un ragionamento per assurdo o un gruppo di ipotesi distinte. Bisogna far comprendere questo legame tra la lingua parlata e la struttura logica soggiacente certe dimostrazioni.

    E’ molto utile il seguente esercizio. Su “La Settimana Enigmistica” c’è il gioco “Calcolo Enigmatico”. Si tratta di associare cifre a simboli in modo che tutte le operazioni date siano verificate. I ragazzi riescono a risolverlo agevolmente ma raccontano con molta difficoltà il perché dei passaggi fatti. Molte argomentazioni del gioco si giustificano per assurdo e solo il corretto uso del congiuntivo consente di comunicare non il risultato ma il ragionamento che ha portato a questo. Quando si introducono le implicazioni logiche si provi a distribuire un gioco simile al Calcolo Enigmatico e poi far confrontare i ragazzi tra di loro sulle motivazioni della risoluzione.

Esempio 4. Le variabili libere e saturate

    Le lettere dellalfabeto indicano sia incognite da determinare che parametri, a volte numeri irrazionali, altre variabili di una operazione. Nel caso di esercizi con esplicita richiesta di determinare una incognita, lo studente non ha molti dubbi. È anche facile che riconosca dove sostituire un valore ad una incognita per verificare una soluzione.

    Molti problemi si presentano se in una espressione matematica compaiono sia dei parametri che delle variabili. Ad esempio la funzione integrale ha un estremo variabile e nel suo interno la funzione calcolata in una ulteriore lettera, ad esempio \(t\), saturata dal simbolo \(dt\). Quando poi si passa allintegrale generalizzato saturando anche la variabile esterna con il simbolo di limite lo studente vacilla. Immaginiamo di invocare anche un parametro in questa operazione e potremo anche capire lo sconforto che dà il linguaggio matematico! Eppure è proprio questo diverso uso concettuale delle lettere alfabetiche che dà alla matematica la sua potenza.

    Facciamo un esempio

    La \(n\) è variabile libera, la  \(z\) e la \(t\) sono saturate, \(e\) è un numero!

    Dobbiamo nel tempo rimuovere la difficoltà dello studente nel distinguere questi ruoli se vogliamo fargli comprendere la bellezza di questa formula che sintetizza tutto il lavoro fatto al liceo. Davanti a studenti che sanno leggere la formula potremo finalmente raccontare la meravigliosa storia che ci porta da un gioco facile che potremmo spiegare anche ad un bambino (trovare il fattoriale di un numero naturale) al legame con la Trasformata di Laplace o con la formula della superficie di sfere \(\displaystyle N\)-dimensionali o accennare al teorema di Bohr-Mollerup.

    Oppure … saranno gli studenti a raccontare altre proprietà di Gamma all’insegnante, perché come la poesia anche la matematica bella torna indietro arricchita a chi l’ha consegnata.

BiBLIOGRAFIA

[1] Borgato, M.T. & Pepe, L. (1998), Leopardi e le scienze matematiche, La matematica nella Società e nella Cultura, Bollettino UMI (8) 1-A (1998), 31-37.

[2] Codogno M.: Parole Matematiche: incognita.

http://www.ilpost.it/mauriziocodogno/2011/01/21/parole-matematiche-incognita/

[3] Kasner E., Newman J. R., Mathematics and the Imagination, Courier Corporation, 2001.

[4] Lolli G., Incompletezza, saggio su Kurt Godel, Il Mulino 1992

Autore dell'articolo: Sandra Lucente

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