Tangente e differenziale nell’articolo \({Differentiel}\) di d’Alembert sull’\({Encyclope\!\!´\!die}\)

Loredana Biacino

Università di Napoli Federico II, loredana.biacino2@unina.it

 

 Sunto – In questa nota si commenta il calcolo della tangente alla parabola di equazione \(x = ay^2\) che d’Alembert espone come esempio della sua teoria dei limiti e dei differenziali nella voce Differentiel dell’Encyclopédie e si confronta il suo metodo con quelli di Barrow e di Leibniz.

 

  1. Introduzione

Jean Le Rond d’Alembert nacque a Parigi nel 1713, da una nobildonna che però lo abbandonò in fasce. Grazie al sostegno economico del padre naturale e alla famiglia che amorosamente lo allevò, poté frequentare il collegio Mazarino dove studiò diritto e filosofia diventando successivamente avvocato nel 1738.

Si interessò di meccanica razionale e celeste, di fluidodinamica, di ottica e di matematica: grazie a una sua pubblicazione sul calcolo integrale e ad altre pubblicazioni di carattere scientifico entrò a far parte dell’Accademia delle Scienze di Francia di cui successivamente divenne segretario perpetuo.

E’ considerato il maggior matematico francese del Settecento.

Con il nome di teorema di d’Alembert è oggi chiamato il teorema fondamentale dell’algebra, che, come ben noto asserisce che ogni equazione algebrica a coefficienti complessi e di grado maggiore o eguale a 1 ha almeno una radice. Il motivo sta nel fatto che anche se d’Alembert non l’ha dimostrato, ha cercato ripetutamente di farlo.

Anche l’equazione della corda vibrante porta il nome di d’Alembert, perché è stato lui il primo a trovare per la soluzione l’espressione che ancora oggi studiamo nei testi di analisi.

Nel 1746, in casa di Mademoiselle de Lespinasse, d’Alembert incontrò Denis Diderot, con il quale intraprese il ponderoso lavoro dell’Encyclopédie. Per questa scrisse, nel 1751, il Discorso preliminare, che è considerato il manifesto dell’Illuminismo, e una quantità enorme di articoli di scienza e filosofia in cui espone la teoria secondo la quale il progredire della scienza e della conoscenza procede di pari passo con il miglioramento delle condizioni sociali.

Scrisse anche molti articoli di carattere matematico. Alla giovane età di 26 anni, nel Discorso preliminare al Traité de Dynamique, parlando delle applicazioni felici dell’algebra alla geometria e della geometria alla meccanica aveva osservato che fino ad allora  non si era stati attenti né a ridurre i principi di queste scienze al più piccolo numero, né a donare loro tutta la chiarezza desiderabile concludendo:

“Ci si è finora preoccupati più di aumentare l’edificio che di illuminarne l’ingresso; e si è pensato principalmente di innalzarlo senza dare alle fondamenta la solidità opportuna.”

A questa mancanza di indagine sui fondamenti della scienza egli cerca di dare nei suoi articoli sull’ Encyclopédie una risposta.

In particolar modo a questo riguardo e relativamente alla matematica sono di grande interesse gli articoli Limite e Differentiel, in cui propone una definizione algebrico-aritmetica di limite come fondamento (metafisica dice lui) del calcolo differenziale, argomento che era stato oggetto di aspre critiche e accese discussioni sia in Inghilterra che in Francia all’Accademia delle Scienze di Parigi per la mancanza di chiarezza e rigore delle sue basi.

In questi articoli d’Alembert rifiuta in maniera categorica l’uso dell’infinito e infinitesimo attuale, ma la sua proposta di limite, sebbene rappresenti un passo avanti nell’intricato avvicendarsi di definizioni e interpretazioni, non riesce a dare un inquadramento logico del tutto soddisfacente delle procedure differenziali, soprattutto in quanto non viene inserita nell’ambito del concetto di funzionalità, e  non evidenzia di conseguenza il sottile gioco che intercorre tra variabile indipendente e variabile dipendente nei processi di limite.

 

  1. L’articolo \(Limite\)  dell’\(Encyclope\!\!´\!die\)

Ecco la definizione di limite nell’omonimo articolo dell’Encyclopédie:

“On dit qu’une grandeur est la limite d’une autre grandeur, quand la seconde peut approcher de la premiére plus prés que d’une grandeur  donnée, si petite qu’on la puisse supposer, sans pourtant que la  grandeur qui approche puisse jamais surpasser  la grandeur dont elle approche; en sorte que la différence d’une pareille quantité a sa limite est absolument inassignable[1].”

Ad essa d’Alembert fa subito seguire le due proprietà fondamentali dei limiti:

  • l’unicità del limite, la cui dimostrazione per assurdo si trova nell’articolo sul differenziale;
  • il teorema secondo il quale il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti, dove però non accenna alla possibilità che uno dei due limiti sia zero e l’altro infinito.

Tali proposizioni, afferma d’Alembert, servono per dimostrare rigorosamente il classico risultato  archimedeo secondo il quale l’area del cerchio si ottiene moltiplicando  la sua semicirconferenza  per il raggio[2].

La difficoltà della  definizione è nella sua generalità: essa s’intende applicabile a quantità di una medesima classe di grandezze omogenee, per le quali è definita la differenza, che, nel caso specifico, si richiede sia inassignable[3], cioè, definizione nella definizione, sia una grandezza che può rendersi minore di qualsiasi grandezza comunque piccola la si possa immaginare. Spesso comunque d’Alembert oscilla tra l’uso della parola grandezza e l’uso della parola quantità, parola quest’ultima più legata al significato attuale di funzione, secondo l’uso di Eulero e, ancor prima di lui, di alcuni matematici del Seicento. Comunque manca l’indicazione del ruolo della variabile indipendente.

Interessante è aver introdotto un concetto nuovo e aver dato un nome specifico ad un ente, il limite, tale che la differenza tra esso e la grandezza di cui è limite sia infinitesima, cioè minore di ogni grandezza data piccola a piacere. Tale differenza era stata usata già tante volte in letteratura: ad esempio nel trattato di de L’Hospital (de L’Hospital, 1720, art.108), a proposito dell’iperbole e del suo asintoto è scritto:

“l’on voit que l’Hyperbole … et son asymptote …(étant prolongées) s’approchent de plus en plus, de sorte qu’enfin leur distance devient moindre qu’aucune donnée; et que cependant elles ne se peuvent jamais rencontrer”,

ma l’idea di considerare il limite della distanza non è presente e l’autore si limita ad aggiungere:

“puisqu’elles ne se joignent que dans l’infini où l’on ne peut jamais arriver”.

L’uso da parte di d’Alembert del verbo surpasser fa pensare che la grandezza approssimante sia minore della grandezza limite (ma gli esempi addotti, in cui il limite è minore della grandezza approssimante, smentiscono subito tale limitazione); più volte è però ribadito che il limite non può essere mai raggiunto. Così la lunghezza della circonferenza è il limite delle lunghezze delle poligonali inscritte oppure di quelle circoscritte, ma non coincide con nessuna di esse, sebbene esse possano approssimarla quanto si vuole.

Analogamente, considerando la serie numerica di primo termine \(a\) e secondo \(b\): \[a(1+\frac{b}{a} + …+\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}} …), \]

si vede che se ci si arresta ai primi n termini, ponendo eguale a \(e\) l’n-simo termine, la somma vale \(a\frac{a-eb}{a-b},\) e non coincide con la somma della serie, eguale ad \(\frac{a^2}{a-b} \), ma si avvicina indefinitamente ad essa, rimanendone sempre minore. Infatti il termine \(e\) , pur essendo decrescente, non è mai 0, ma \(e\) si avvicina quanto si vuole a 0, senza mai pervenirvi, e conseguentemente il limite di \(\frac{a-eb}{a-b}\) si ottiene ponendo e eguale a 0.

La precedente limitazione, l’essere la grandezza variabile sempre diversa dal suo limite, esclude la continuità, per la quale non c’era ovviamente ancora la definizione puntuale (data in seguito da Cauchy) ed è legata al fatto che in tutti gli esempi ritenuti significativi e presi in considerazione il limite non è raggiunto.

 

Anche nell’articolo Serie di d’Alembert sull’ Encyclopédie c’è una definizione di limite, che però è molto poco precisa per la gran confusione in essa presente tra le proprietà fondamentali delle successioni e delle serie convergenti. Vi è sottolineato il fatto che la somma di una serie non va considerata come la somma di tutti i termini della serie, ma è il valore cui ci si avvicina sommando un numero finito di termini, prendendone sempre di più. L’autore puntualizza comunque il ruolo fondamentale delle serie nella rappresentazione degli irrazionali, quali il rapporto di una circonferenza al suo diametro o la radice di 2.

 

Ci vorranno ancora sessant’anni affinché, dopo che vari autori, tra cui il cardinale Giacinto Sigismondo Gerdil[4], A. G. Kastner e successivamente lo svizzero Simon L’Huilier, abbiano rilevato i vantaggi della definizione di d’Alembert, senza però emendarne gli errori e chiarire  il ruolo delle variabili indipendente e dipendente, Cauchy completi l’opera, nel 1821, e dia la definizione di infinitesimo, poche  pagine dopo aver dato, nel suo Cours d’Analyse, la definizione precisa di funzione reale di variabile reale.

 

  1. L’articolo \(Differentiel\)

Per quanto riguarda il differenziale d’Alembert riporta la definizione di Leibniz (1646-1716) basata sul concetto di differenza infinitesima delle ordinate e quella di Newton (1642-1727) basata sul concetto di flussione[5] e sulla teoria delle prime e ultime ragioni; non fornisce una sua definizione, ma osserva che i procedimenti del calcolo in uso, vista la gran messe di risultati che producono, non debbono essere rigettati, ma solo giustificati: ciò che è senz’altro più difficile della loro meccanica applicazione. D’Alembert parte dal presupposto che le quantità infinitesime che compaiono nel calcolo non vanno accettate nel loro significato letterale, ma solo come abbreviazioni, che possono essere utili per il calcolo, di procedure più raffinate, in cui entrano in gioco solo limiti di quantità finite.

Ad esempio il simbolo \(\frac{dy}{dx}\) non va considerato come rapporto di infinitesimi, ma come limite a cui tende il rapporto degli incrementi finiti. D’Alembert non dà nessun nome a tale simbolo (il nome derivata sarà coniato successivamente da Lagrange con una ben diversa definizione), accontentandosi della sua interpretazione geometrica di rapporto dell’ordinata alla sottotangente (che è sostanzialmente la definizione di Leibniz del 1684).

Scrive poi formalmente \(dy = \frac{dy}{dx}dx,\) dove \(dx\)che compare come fattore va inteso come differenza finita, mentre, come abbiamo detto, \(\frac{dy}{dx}\) va inteso come limite.

L’eguaglianza precedente a noi oggi sembra ovvia, essendo \(\frac{dy}{dx}\) la derivata, ma fu forse
un’imperfezione di carattere logico, oscura al pari della definizione di limite, così d’Alembert non ebbe grande influenza nel periodo immediatamente successivo sui matematici che si occupavano di analisi e che continuarono nella maggior parte di loro a riferirsi alla teoria di Leibniz o a quella di Newton.

Eppure avere individuato che nel calcolo differenziale quello che è fondamentale è il limite di un rapporto di incrementi finiti apre idealmente la strada alla sistemazione definitiva del calcolo fornita una sessantina di anni dopo da Cauchy, che come lui darà prima la definizione di limite e successivamente, basandosi su questa, la definizione di derivata e di differenziale.

 

  1. Un confronto dei metodi di analisi infinitesimale usati da Barrow e d’Alembert

Prima di proseguire è bene ricordare alcuni metodi di analisi infinitesimale in uso nel Settecento.  Prendiamo spunto dalla trattazione di d’Alembert nell’articolo Differentiel del seguente esempio.

Con riferimento alla figura, sia \(AM\) una parabola di equazione \(y^2 = ax\): si ponga \(AP = x\) e \(PM = y\). Si tracci la tangente \(MQ\) nel punto \(M\). Si vuole determinare la sottotangente. Supponiamo che il problema sia risolto e sia \(m\) un punto prossimo a \(M\) sulla curva e \(mp\) la sua ordinata; per i punti \(M\) e \(m\) si tracci la secante che intersechi in \(R\) l’asse \(x\).

E’ evidente che più il punto \(m\) si avvicina a \(M\) più il punto \(R\) si avvicina a \(Q\) e conseguentemente il rapporto \(\frac{MP}{PR} = \frac{mO}{MO}\) si avvicina al rapporto \(\frac{MP}{PQ}\) così che \(PR\) potrà differire di tanto poco quanto si vorrà da \(PQ.\)

Dunque \[\frac{MP}{PQ} =\text{ limite di }\frac{mO}{MO} ;\]
pertanto se si riesce a trovare algebricamente il limite del rapporto \(\frac{mO}{MO}\) tale limite fornisce il rapporto \(\frac{MP}{PQ},\) e, poiché \(MP\) è l’ordinata nota, in tal modo si può ottenere la sottotangente \(QP\).

Adesso d’Alembert pone \(MO = u,\) \(Om = z\) e, poiché \(m\) sta sulla curva: \(a(x+u)=(y+z)^2,\) da cui, poiché \(ax = y^2\), si ricava \(au = 2yz+z^2\) e \(\frac{z}{u} = \frac{a}{2y+z},\) e, sostituendo:
\[\frac{mO}{MO} = \frac{a}{2y+z}.\]
Poiché si può prendere \(z\) tanto piccolo quanto si vuole tale rapporto sarà prossimo ad \(\frac{a}{2y} \) tanto quanto si vuole, cioè
\[\text{limite di }\frac{mO}{MO} = \frac{a}{2y} .\]
Pertanto, per l’unicità del limite, \(\frac{MP}{PQ} = \frac{a}{2y} .\)

Ne segue, essendo \(MP = y\), che \(PQ = 2x\).

 

Il metodo usato da d’Alembert è simile a quello usato da Barrow (1630-1677), consistente nel dare nell’ equazione di una curva gli incrementi infinitesimi separatamente sia alla variabile indipendente che alla variabile dipendente e nel calcolare infine il rapporto dell’incremento della variabile dipendente e di quello della variabile indipendente, che automaticamente fornisce il rapporto tra la variabile dipendente e la sottotangente.

Barrow non sarebbe passato al limite, ma avrebbe, come di regola nel suo metodo, tralasciato, nell’equazione \(ax+au = y^2+2yz+z^2\) il termine di secondo grado \(z^2\) ottenendo subito, poiché \(ax = y^2,\)  \(\frac{z}{u} = \frac{a}{2y}.\) Ma \(\frac{z}{u}\) coincide con \(\frac{y}{PQ}\) da cui come prima si ottiene \(PQ\).

Il metodo per le tangenti fu aggiunto da Barrow alla fine delle sue Lezioni Geometriche, (1670) nella Lectio X, come un metodo di calcolo su consiglio di un amico (certamente Newton).

Il fatto fondamentale nel metodo di Barrow consiste nel prendere \(\frac{z}{u} = \frac{y}{PQ},\) dove \(z\) ed \(u,\) incrementi della variabile dipendente e della variabile indipendente rispettivamente, sono infinitesimi, cioè nel confondere il triangolo infinitesimo determinato dalla tangente con il triangolo che ha due vertici sulla curva.

Da osservare che Leibniz, semplifica tale questione: nella lettera a Oldenburg del 21 giugno 1677 (Cantelli, 1969, pag.131) asserisce:

”Non importa conoscere l’angolo formato dalle due ordinate con l’asse. Per cui risulta che trovare le tangenti non significa altro che trovare le differenze delle ordinate, una volta stabilite eguali le differenze delle ascisse.”

Posizione che è ribadita anche nel 1684 nel lavoro sugli Acta eruditorum (Castelnuovo, 1962, pag.169), dove entra in gioco esplicitamente la similitudine dei triangoli, quello finito e quello infinitesimo, determinati dalla tangente[6].

Ritornando a d’Alembert, egli utilizza il procedimento precedente perché è convinto che fra tutti i metodi allora noti per la determinazione delle tangenti quello di Barrow, sebbene come gli altri non giustificato logicamente, si presta meglio ad essere generalizzato nella nuova teoria che egli intende proporre.

 

Prima di procedere vediamo allora come Barrow nella Lectio X affronta il problema della individuazione della tangente nel caso particolare della quadratrice.

Osserviamo innanzi tutto che siamo di fronte ad un’applicazione del metodo ad una curva non algebrica. Si tenga presente che la trattazione di Fermat[7] dello stesso argomento è lacunosa, l’autore propone senza alcuna spiegazione una relazione che è stata cancellata da un’altra mano che ha corretto il suo scritto (Fermat, 1679).

Invece, come vedremo, Barrow tratta la questione soddisfacentemente, ma, diversamente dal caso delle curve algebriche, non può proporre una procedura uniforme, e usa invece considerazioni di carattere geometrico ad hoc, prima di poter applicare il metodo.

Sebbene nell’uso dei simboli appaia più simile a Fermat che non a Cartesio, la differenza fondamentale con Fermat consiste nel fatto che vengono dati incrementi infinitesimi a entrambe le variabili e si eliminano potenze superiori alla prima di entrambi gli incrementi appena queste entrano in gioco, con una grande semplificazione dei calcoli.

Fondamentale è la determinazione del valore del rapporto \(\frac{a}{e},\) considerato coincidente con il rapporto ordinata/sottotangente. Ma vediamo come procede Barrow:

Egli considera la quadratrice \( CV\), l’arco di circonferenza   di centro \(A\) e raggio \(AC = r\)  che indica con \( p.\)  Dato il punto \(M\) sulla quadratrice, sia \(N\)  un punto ad esso prossimo, siano \(E\) \(F\) le intersezioni delle rette \( AM\) e \(AN\) con con \( \widehat{CB}\), siano \(Q\) e \(P\) le proiezioni di \(N\) e \(M\) su \(AB,\) \( L \) e \(K\) le proiezioni di \(F\) ed \(E\) su \(AB\), sia \(R\) il punto d’intersezione della parallela per \(M\) ad \( AB,\) sia \(NR = a\), \(QP = RM = e\)\(AP = f\), \(AM = k\), \(MP = m\). Quindi \(m\) è l’ascissa del punto \(P\) e \(f\) l’ordinata; \(e\) è l’incremento dell’ascissa, mentre \(a\) rappresenta l’incremento dell’ordinata. Risulta, per la proporzionalità tra archi ed altezze:

\[CA: \widehat{CB} = NR: \widehat{FE},\quad \text{ cioè}\quad r: p = a: \widehat{FE},\]

da cui \(\widehat{FE}= \frac{pa}{r}.\)

Per la similitudine dei triangoli \(AMP\) e \(AEK\):

\[AM:MP = AE:EK \quad\text{da cui}\quad EK = \frac{rm}{k}.\]

Inoltre c’è similitudine tra il triangolo rettangolo \(AEK\) e il triangolo mistilineo infinitesimo sotto \(FE\), quindi:

\[AE:EK = \widehat{FE}:LK,\;\text{ da cui:}\; LK = \frac{pa}{r} \frac{rm}{kr} = \frac{pam}{rk} .\]

Per la similitudine dei triangoli \(AMP\) e \(AEK\) risulta anche:

\[AM:AE = AP:AK,\quad\text{ cioé}\quad k:r = f :AK, \;\text{da cui }\;AK = \frac{rf}{k}.\]

Pertanto \(AL = AK-LK = \frac{rf}{k} – \frac{pam}{rk} .\)

 

Nel calcolare il quadrato di \(AL\), Barrow trascura subito i termini contenenti potenze superiori alla prima di \(e\) e di \(a\): si noti la differenza con quanto fa Fermat, che di norma pone l’incremento \(E\) \) relativo alla sola variabile indipendente eguale a zero dopo aver ottenuto l’adeguaglianza, aver diviso per \(E\) e effettuato tutte le possibili semplificazioni. In tal modo Barrow ottiene:

\[AL^2 = \frac{r^2f^2}{k^2}-2\frac{fmpa}{k^2}.\]
Analogamente:
\[LF^2 = AF^2-AL^2 =\ \frac{r^2k^2-r^2f^2+2fmpa}{k^2}\ =\ \frac{r^2m^2+2fmpa}{k^2}.\]

Inoltre, per la similitudine dei triangoli rettangoli \(ANQ\) e \(AFL,\) risulta:
\[AQ^2:QN^2 = AL^2:LF^2.\]
Ma \(AQ = AP-e = f-e,\)  \(QN = MP+a = m+a, \)quindi dalla precedente relazione segue:
\[(f-e)^2:(m+a)^2 = AL^2:LF^2.\]

Da cui, eliminando i termini contenenti potenze superiori alla prima di \(e\) ed \(a:\)
\[(f^2-2fe): (m^2+2ma) = (r^2f^2-2fmpa): (r^2m^2+2fmpa).\]
Eseguendo tutte le semplificazioni si perviene alla aequatio:
\[f^2pa-ar^2f+m^2pa = r^2me.\]

Si divide per \(e\), si pone \(\frac{a}{e} =\frac{m}{t},\)  essendo \(t = \text{sottotangente} = PT\);  si ottiene, dopo aver eseguito le semplificazioni:
\[\frac{f^2p-r^2f+m^2p}{r^2} = t.\]

Ora \[AT = AP+t = f+t = \frac{f^2p+m^2p}{r^2} =\frac{k^2p}{r^2}.\]

Come ben noto, si ha: \(AV = \frac{r^2}{p}\) e pertanto \(AT = \frac{{AM}^2}{AV}\), cioè:
\[AT:AM = AM:AV,\]
che permette di determinare \( AT.\)

Gli ultimi passaggi sono i più significativi: infatti la divisione per \(e\) è giustificata dal fatto che bisogna determinare il rapporto \(a/e\), che acquista un valore cardine di tutta la trattazione in quanto eguagliato al rapporto \(m/t\).

 

 

  1. Perché d’Alembert non cita Fermat?

Il precedente esempio può spiegare perché d’Alembert non cita il conterraneo Fermat: oltre un apprezzamento dichiarato da parte sua per le opere di Newton, di cui Barrow fu il maestro, in linea con una rivalutazione da parte degli enciclopedisti dell’opera del sommo matematico inglese, entra in gioco infatti anche espressamente un giudizio entusiastico per il metodo delle tangenti di Barrow.

Non a caso, quando tratta il problema degli inventori del calcolo differenziale, d’Alembert cita Barrow ripetutamente: ad esempio parlando della lettera di Newton a Collins del 10 Dicembre 1672 (Cantelli, 1969, pag.82), che si vuole trasmessa a Leibniz, asserisce

“elle ne contient point le calcul differentiel, et n’est autre chose que la méthode de Barrow pour les tangentes un peu simplifiée[8].”

E qualche rigo dopo, un po’ contraddicendo l’affermazione precedente:

“En effet, pour le dire en passant, le calcul différentiel n’est autre chose que la méthode de Barrow pour le tangentes, généralisée[9].”

E ancora:

“Ainsi quel que soit l’inventeur du calcul différentiel, il n’a fait qu’étendre et achever ce que Barrow avait presque fait, et ce que le calcul des exposans, trouvé par Descartes, rendait assez facile à perfectionner[10].”

“Cette généralisation de la méthode de Barrow, qui contient proprement le calcul différentiel, ou (ce qui revient au même) la méthode des tangentes en général, se trouve dans une lettre de Leibniz du 21 Juin 1677[11]…”

D’altro canto anche Barrow non accenna nella sua opera a Fermat, sebbene il suo metodo consista essenzialmente in un raffinamento del metodo del tolosano.

Come sorgenti delle sue idee Barrow cita Cartesio, Huygens, Galileo, Torricelli, Cavalieri, Gregorio di San Vincenzo, James Gregory e Wallis: come riferisce Boyer (Boyer,1949, pag.183), è probabile che tramite questi autori Barrow venisse a conoscenza del metodo di Fermat, del quale in particolare Huygens e James Gregory fecero uso frequentemente.

Lo stesso Newton riconobbe che la regola di Barrow non era altro che un miglioramento del metodo delle tangenti di Fermat.

Eppure tra gli esempi che Barrow fornisce del suo metodo brilla la determinazione della tangente in un punto della curva detta folium Cartesii e da lui (come da Roberval) chiamata la Galande, di equazione \(x^3+y^3= pxy\) (Barrow, 1670, Lectio X, Exemp. III): come ben noto (Giusti, 2016) Cartesio sottopose a Fermat la questione della determinazione di siffatta tangente.

Sembra che sia stata proprio la risoluzione di tale problema da parte di Fermat con il suo metodo delle tangenti a convincere Cartesio della bontà del metodo del suo interlocutore.

Come abbiamo visto, con grande facilità Barrow determina la tangente alla quadratrice che invece qualche problema a Fermat l’aveva pur dato.

Per inciso, la quadratrice non è l’unica curva trascendente cui Barrow applica il suo metodo di calcolo: ad esempio considera anche la curva tangente trigonometrica, per non dire delle cicloidi e delle curve descritte alla stessa maniera delle cicloidi che tratta in applicazione della proprietà stabilita nella Lectio V secondo la quale archi infinitamente piccoli di una curva possono essere sostituiti dai rispettivi segmenti di tangente, argomento quest’ultimo presente già in Fermat, Pascal e Leibniz e che è riproposto in chiave nuova, come risultato finale  di una  procedura di  limite nel Libro Primo di (Newton, 1687).

Il metodo dei massimi e minimi di Fermat in effetti si basa più in generale su una procedura sostanziale per la determinazione di limiti, come dimostra il fatto che Fermat lo abbia usato anche per la determinazione del baricentro del conoide parabolico, in cui non calcola un massimo o un minimo, ma adotta una sorta di passaggio al limite.

Si tratta di uno scritto che sembra essere quello che Fermat inviò, tramite Roberval, a Mersenne, con la lettera del 20 aprile 1638, e il cui enunciato Mersenne fece pervenire a Cartesio (vedi Fermat, 1891-1916), il primo maggio successivo, senza però prendersi la cura di sopprimere le seguenti parole, che per noi oggi gettano luce sul suo metodo:

“Quaeritur centrum gravitatis perpetua et constanti, qua maximam et minimam et tangentes linearum curvarum investigavimus, methodo, ut novis exemplis et novo usu, eoque illustri, pateat falli eos qui fallere methodum existimant[12].”

Boyer e molti storici della matematica comunque non ritengono che Fermat operasse dei processi di limite, perché nella sua opera non c’è riferimento (come del resto nell’opera dei suoi contemporanei) all’idea di funzione o di quantità variabile.

Resta però il fatto che dalle precedenti parole si evince che il metodo di cui parla Fermat non è solo il metodo dei massimi e minimi, ma un metodo ben più generale.

Il metodo delle tangenti quindi non è un’applicazione, come si ritiene in genere della teoria dei massimi e minimi, ma, come quest’ultima, un caso particolare di tale metodo generale.

E’ interessante osservare che d’Alembert, al collegio Mazzarino di Parigi aveva studiato sul libro del padre oratoriano Charles Reyneau (1656-1728), L’Analyse demontrée, trattato che ebbe grande diffusione: la prima edizione del 1708, di questo libro conteneva però molti errori, che furono in vario modo in parte corretti. La seconda edizione, del 1738 ne conteneva ancora qualcuno e fu proprio la correzione di uno di essi relativo al calcolo integrale che divenne la materia di una prima memoria di d’Alembert inviata all’Accademia.

Ora per il calcolo della tangente Reyneau utilizza sostanzialmente il metodo di Fermat.

Infatti considera una curva riferita ad un sistema di assi cartesiani, due punti sulla curva, e un segmento infinitamente piccolo sulla tangente che fa parte della curva e di cui i due punti sono gli estremi[13].

Essi determinano con la parallela all’asse delle \(x\) un triangolo infinitesimo simile al grande triangolo formato dalla tangente, la sottotangente e l’ordinata (Reyneau, 1738, pag.63 e 153).  Con calcoli algebrici Reyneau riesce a determinare a partire dalla proporzione che discende dalla precedente similitudine e dall’equazione della curva, detta \(e\) la differenza infinitesima delle ascisse dei due punti, un’equazione, da cui, fatte le opportune semplificazioni, dividendo per \(e\) e ponendo infine \(e = 0\), ottiene il valore della sottotangente.

D’Alembert conosceva quindi bene tale metodo: è vero che Reyneau cita Leibniz e non Fermat, le cui opere non erano state molto diffuse (Giusti, 2016, pag.218). E’però anche probabile che alla base della mancata citazione da parte di d’Alembert ci sia sostanzialmente una motivazione di carattere ideologico, legata tra l’altro al fatto che il metodo di Fermat poteva considerarsi più meccanico e in parte superato, in quanto in esso non interviene il rapporto dei due infinitesimi, relativi alla \(y\) ed alla \(x\), presente invece nell’opera di Barrow (e di Newton), e al quale tanta importanza d’Alembert attribuiva.

 

  1. La critica a Leibniz

Torniamo all’articolo Differentiel: d’Alembert colma il vuoto che il metodo di Barrow, analogamente al metodo di Fermat, non giustifica: confondere punti sulla curva con punti sulla tangente e trascurare le potenze degli incrementi infinitesimi dati alla \(y\) ed alla \(x\) superiori al primo grado non trova altra giustificazione logica che in base all’idea di limite.

D’Alembert chiarisce questo punto in modo esemplare. Infatti asserisce:

“dans le calcul différentiel les quantités qu’on néglige, sont negligées, non comme on le dit d’ordinaire, par ce qu’elles sont infiniment petites par rapport à celles qu’on laisse subsister, ce qui ne produit qu’une erreur infiniment petite ou nulle; mais  parce qu’elles doivent être négligées pour l’exactitude rigoureuse[14].”

Riferendosi all’esempio prima trattato egli ribadisce che il valore \(\frac{a}{2y}\) è il valore esatto di \(\frac{dy}{dx}\): dalla relazione precedente \(\frac{z}{u} = \frac{a}{2y+z}\), ponendo \(z = dy\) e \(u = dx\) si potrebbe dedurre \(\frac{dy}{dx} = \frac{a}{2y+dy}\) da cui \(2ydy+dy^2 = adx\), che non è il differenziale di \(ax = y^2\)! Col calcolo infinitesimale si trascura il \(dy^2\) ottenendo al solito il vero differenziale \(2ydy\) che così è solo un valore approssimato, ma non un valore esatto

Il riferimento è proprio alla lettera di Leibniz ad Oldenburg del 21 giugno 1677, dove Leibniz considera la parabola di equazione  \(x = y^2\), o una analoga, come in  figura, e asserisce:

“ Così \(TB_1,\) che è l’intervallo, assunto sull’asse, tra la tangente e l’ordinata, sta all’ordinata \(B_1C_1\), come \(C_1D\), che è la differenza delle due ascisse \(AB_1\) e \(AB_2\), sta a \(DC_2\), che è la differenza delle due ordinate \(B_2C_2\) e \(B_1C_1.\) Non importa conoscere l’angolo formato dalle due ordinate con l’asse. Per cui risulta che trovare le tangenti non significa altro che trovare le differenze delle ordinate, una volta stabilite eguali le differenze delle ascisse \( (B_1B_2=C_1D).\) …. Siano infatti le due y vicinissime fra loro cioé \(AB_{1 }= y\) e \(AB_2 = y+dy\). Poiché poniamo che \(dy^2\) è la differenza dei quadrati costruiti sopra questi due segmenti, l’equazione sarà
\[dy^2 = y^2 +2ydy+ dydy -y^2.\]

Ossia omessi \(y^2-y^2,\) che si eliminano reciprocamente, e omesso egualmente il quadrato della quantità infinitamente piccola (per le ragioni note dal metodo dei Massimi e dei Minimi), avremo \(dy^2 = 2ydy.\)  Lo stesso sarà per le altre potenze.”

Si noti che dall’equazione della parabola si ricava: \(dx/dy =2y +dy\). Ora il rapporto \(dx/dy\), se si identifica la curva con la tangente, è uguale al rapporto ordinata/sottotangente che, come si evince anche dal seguito dell’articolo e dagli altri esempi considerati, è la quantità cui Leibniz è interessato: esso pertanto eguaglia tale rapporto, dove non compaiono più infinitesimi, con \(2y+dy;\) a tal punto, come nel metodo delle tangenti di Fermat, Leibniz pone \(dy=0\). In verità, se si considera il seguito dell’articolo in cui è proposta una dimostrazione della regola di Slusio[15], egli pone prima \(dy=0\) e poi eguaglia il rapporto ordinata/sottotangente a \(2y\). E’ pertanto al metodo delle tangenti di Fermat, trasformato quasi in una regola meccanica, che Leibniz fa riferimento e non, come egli scrive, confondendo la parte col tutto, al metodo dei massimi e minimi.

Ritorniamo alle parole di d’Alembert:

 “Ainsi la métaphysique de l’infini et des quantités infiniment petites plus grandes ou plus petites les unes que les autres, est totalement inutile au calcul différentiel. On ne se sert  du terme d’infiniment petit, que pour abréger les epressions. Nous ne dirons donc pas avec bien des géomètres qu’une quantité est infiniment petite, non avant qu’elle s’évanouisse, non après qu’elle est évanouie, mais dans l’instant même où elle s’évanouit: car que veut dire une définition si fausse, cent fois plus obscure que ce qu’on veut définir? Nous dirons qu’il n’y a point  dans le calcul différentiel de quantités infiniment petites[16].”

Dopo la precedente presa di posizione sostanzialmente contro Leibniz (ma anche contro Newton, che adotta nello Scolio alla fine del Libro primo dei Principia esattamente le stesse parole relativamente all’ultime e prime ragioni di grandezze evanescenti) segue una lunga tirata contro i partigiani stessi del nuovo calcolo, più che contro gli oppositori.

Infatti tra i primi alcuni l’hanno male compreso, altri l’hanno troppo poco spiegato.

L’anima illuminista esplode prepotentemente a questo punto.

Gli inventori afferma infatti d’Alembert, cercano di mettere quanto più mistero possono nelle loro scoperte: e in genere gli uomini non odiano l’oscurità purché ne risulti qualcosa di meraviglioso.

“Charlatanerie que tout cela!”

La verità è semplice e può essere messa a portata di tutto il mondo, quando ci sia l’intenzione di prendersene cura.

 

7 . La critica a Newton sul differenziale secondo

Nello Scolio alla fine del De Quadratura Curvarum (1704) di Newton (Castelnuovo,1962, pag.157) Newton scrive così:

“Sia per esempio \(z^n\) una quantità fluente, che fluendo diventi \((z+o)^n\) e si sviluppi quindi in serie convergente:
\[ z^n+noz^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}o^2z^{n-2}+\frac{n\left(n-1\right)(n-2)}{2\cdot 3}o^3z^{n-3}+ …\]

Il primo termine di questa serie, \(z^n\), è la quantità fluente, il secondo termine, \(no^{zn-1}\), è il suo incremento primo o differenza prima, alla quale, considerata istantanea, è proporzionale la flussione prima; il terzo, \(\frac{n(n-1)}{2}o^2z^{n-2}\), sarà il suo incremento secondo o differenza seconda alla quale, considerata istantanea, è proporzionale la flussione seconda; il quarto \(\frac{n\left(n-1\right)(n-2)}{2\cdot3}o^3z^{n-3}\) sarà il suo incremento terzo o differenza terza, alla quale, considerata istantanea, è proporzionale la flussione terza e così via all’infinito.”

In effetti, per ottenere tutti gli incrementi (differenziali) nell’ordine bisogna moltiplicare i vari termini dello sviluppo di \((z+o)^n\) successivi al primo per \(1!, 2!, 3!\) e così via. La rilevazione dell’errore di Newton fu fatta da John Bernoulli, in De motu corporum...Acta eruditorum 1712, ristampato nell’Opera Omnia, Lausannae et Genevae 1742, p. 535-536.

D’Alembert riferisce l’osservazione di Bernoulli e ne trae spunto per un’osservazione sui differenziali di ordine superiore al primo che sarà interessante, dichiara lui, per chi comincia il loro studio.

Egli fornisce infatti a sua volta un semplice esempio che dovrebbe spiegare una possibile motivazione della svista di Newton.In relazione alla parabola di equazione \(y = x^2\) egli considera, in corrispondenza del valore \(x+dx\) il valore \( y’=x^2+2xdx+dx^2\): ad \(y\) e ad \(y’\) corrisponde l’eccesso \(y’-y=2xdx+dx^2\); all’ascissa \(x+2dx\) corrisponde poi \(y”=x^2+4xdx+4dx^2\); e l’eccesso corrispondente ai due valori \(y’\) e \(y”\) é dato da \(y”-y’=2xdx+3dx^2\). La differenza dei due eccessi precedenti è data da: \(y”-y’-(y’-y)=2dx^2\) e coincide con il differenziale secondo, \(dy^2\), come si trova col calcolo differenziale.

 

Dice d’Alembert che se per l’estremità della seconda ordinata si traccia la tangente che va a incontrare la terza ordinata, questa tangente divide il \(ddy\) in due parti eguali, di cui ciascuna è quindi  la metà del differenziale secondo

“C’est cette moitié du ddy vrai que Newton a prise pour le vrai ddy entier[17].”

Infatti siano \(P = (x,x^2),\) \(P’=(x+dx, y’)\), \( P”=(x+2dx, y”); \) \( P’\) è l’estremità della seconda ordinata e la tangente in \(P’\) ha equazione \(Y-y’=(2x+2dx)(X-x-dx).\)

Intersecando con la retta di equazione \(X=x+2dx\) (la terza ordinata) si ottiene il punto \(T=(x+2x,y’+2xdx+2dx^2)\). La differenza delle ordinate di \(P”\) e di \(T\) è allora data da
\[y”-y’-2xdx-2dx^2 =2xdx+3dx^2-2xdx-2dx^2=dx^2,\] che è effettivamente la metà del differenziale secondo.

D’Alembert cerca di spiegare cosa può aver causato l’errore di Newton.

Il vero \(ddy\) si  trova per mezzo della tangente considerata come secante nella curva rigorosa o come tangente nella curva poligonale; infatti il  prolungamento della secante per \(P\) e \(P’\), di  equazione \(Y=x^2+(2x+dx)(X-x)\), , interseca la retta di equazione \(X=x+2dx\) nel punto  \(Q = (x+2dx, x^2+4xdx+2dx^2)\). Il segmento \(QP”\)rappresenta il differenziale secondo in \(P\): infatti la sua lunghezza é data dalla differenza delle ordinate dei due punti \(P”\) e \(Q\):

\[y”-( x^2+4xdx+2dx^2) = 2dx^2 = ddy.\].

Ora prolungando allo stesso modo la tangente effettiva della curva si ottiene la metà del \(ddy\) e Newton ha creduto che questa metà esprimesse il vero \(ddy\) perché esso era formato dalla sottotangente; infatti la tangente in \(P\) alla parabola ha equazione
\(Y-y = 2x(X-x)\). Intersechiamo con la retta di equazione \(X = x+dx,\) si ottiene il punto \(K = (x+dx, x^2+2xdx)\). Il segmento \(P’K\) ha allora lunghezza data da \(y’-(x^2+2xdx) = dx^2.\)

 

Negli scritti di d’Alembert, come del resto si è già detto in quelli di Leibniz, si trova spesso, in relazione anche alla trattazione della dinamica[18], una distinzione tra due modi diversi in cui può essere considerata una curva: il primo consiste nel considerare la curva quale è attualmente data: si parla in tal caso di curva rigorosa. Il secondo considera la curva come una poligonale composta da infinite corde infinitesime: si parla allora di curva poligonale: ad esempio nell’articolo Courbe scrive: “quella che si chiama curva…si può riguardare come l’insieme di una infinità di piccoli segmenti contigui che formano angoli infinitamente ottusi”. Nel caso in esame la considerazione della secante corrisponde, nel caso poligonale, a quella della tangente nel caso della curva rigorosa. Le due impostazioni portano quasi sempre a risultati diversi, come nel caso in esame.

 

Osservazione – Il discorso fatto da d’Alembert è relativo ad un caso molto particolare, infatti la derivata seconda della funzione \(y = x^2\) è costante. In generale la differenza delle differenze non fornisce il differenziale secondo. D’altro canto non c’è altra possibilità logica di definire i differenziali di ordine superiore al primo se non è data la definizione della funzione derivata  e quindi di derivata di ordine superiore al primo: d’Alembert al proposito non sa opporre all’obiezione di Nieuwentijdt[19] una risposta logica, ma osserva che la geometria ci fornisce degli esempi (ad esempio in un cerchio il diametro sta ad una corda come la corda sta all’ascissa corrispondente e quindi se la corda \(x\), supposta coincidente con l’arco, è infinitesima del primo ordine allora l’ascissa, \(1-\cos{x}\), dev’essere supposta di ordine superiore) in base ai quali dobbiamo ammettere che una volta che si siano accettati gli infinitesimi del primo ordine, vanno necessariamente accettati tutti quelli d’ordine superiore.

Nel caso generale di una funzione \(y = f(x)\) si può dire che, considerati al solito i valori \(x, x+dx\) e \(x+2dx\) e i corrispondenti valori \(y, y’\) e \(y”\) della funzione, la secante che passa per i punti \(P’\) e \(P\) ha equazione  \(Y = y+ \frac{y^\prime-y}{dx} (X-x)\)  e quindi per \( X = x+2dx\)  si ottiene \(Y_Q = 2y’-y = 2f(x+dx)-f(x).\)
Ne segue:
\(y”-Y_Q = f(x+2dx)-2f(x+dx)+f(x),\) che dà la differenza delle differenze ma non coincide con il differenziale secondo \(f”(x)dx^2.\)

Però, supposto che la funzione oltre a essere derivabile due volte intorno a \(x,\) possieda derivata seconda continua in \(x,\) ponendo la differenza delle differenze al posto del differenziale secondo si commette un errore che è infinitesimo di ordine superiore a \(dx^2\).

Infatti per la differenza delle differenze si ha:

\[f(x+2dx)-f(x+dx)-[f(x+dx)-f(x)]\\ = [f’(x+dx+\theta dx)-f’(x+\theta dx)]dx\\
= f”(x+\eta dx)dx^2, \quad\text{ con}\quad 0<\eta <2.\]

Il differenziale secondo è dato da \(f”(x)dx^2.\) Quindi l’errore che si commette ponendo al posto del differenziale secondo la differenza delle differenze è data in generale da:
\[|f”(x)- f”(x+\eta dx)|\, dx^2\]
ed è un infinitesimo d’ordine superiore a \(dx^2\), essendo
\[\lim_{dx\rightarrow 0}{ [f”(x)- f”(x+\eta dx)]=0}.\]

 

 

Bibliografia

  1. Barrow, 1670, Lectiones Geometricae, Londini, typis Gulielmi Godbit.
  2. Bertoloni Meli, 1993, Equivalence and Priority, Newton versus Leibniz, Oxford.
  3. Biacino e G. Viola, Giacinto Sigismondo Gerdil e il problema dell’infinito, inviato per la pubblicazione.
  4. Boyer, 1959, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover.
  5. Cantelli, 1969, La disputa Leibniz-Newton sull’analisi, Boringhieri.
  6. Castelnuovo, 1962, Le origini del calcolo infinitesimale nell’era moderna, Feltrinelli. In questo testo compaiono, tradotti in italiano da E. Carruccio, il De quadratura curvarum di I. Newton e il Nova methodus pro maximis et minimis di G.  Leibniz.
  7. B. le Rond d’Alembert, 1758,Traité de dynamique, Discours préliminaire, Paris.
  8. B. le Rond d’Alembert, 1761, Opuscoles mathématiques, Paris, Tome I.
  9. B. le Rond d’Alembert, 1751- 1765, Série, Limite (1765), Différentiel, Infini, Courbe, articoli dell’Encyclopédie.
  10. B. de la Chapelle, 1756, Fluxion, articolo dell’Encyclopédie.
  11. Dupont e C.S. Roero, 1991, Leibniz 84 Il decollo enigmatico del calcolo differenziale, Mediterranean Press.
  12. Fermat, 1679, Methodus ad disquirendam maximam et minimam. VI. Ad eandem methodum, Varia opera Mathematica D. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani, W. Fiedler Cyclographie.
  13. Fermat, 1891-1916, Methodus ad disquirendam maximam et minimam. VI. Ad eandem methodum, Oeuvres de Fermat, par Paul Tannery et Charles Henry, Gauthier Villars, Parigi.
  14. Giusti, 2016, Dalla Géométrie al calcolo: il problema delle tangenti e le origini del calcolo infinitesimale, Matematica, Cultura e Società, U.M.I., Serie I, Vol.1, N.3.
  15. G. Leibniz, 1689, Tentamen de motuum coelestium causis, Acta Eruditorum, 1o gennaio.
  16. De L’Hospital, 1720, Traité analytique des Sections Coniques, Paris, Montalant.
  17. Newton, 1687, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, London.
  18. Reyneau, 1738, L’Analyse Demontrée, Vol. II, Usage de l’Analyse, Augmentée des Remarques de M. de Varignon, Paris, Quillau.

 

 

Note (ricliccare sul numero della nota per tornare all’articolo)

 

[1] Si dice che una grandezza è il limite di un’altra grandezza quando la seconda si avvicina alla prima in modo tale che la loro differenza sia minore di una grandezza data piccola quanto si vuole, senza che la seconda possa mai superare la prima.

[2] Infatti è noto che, dato un poligono regolare Pn di n lati inscritto in una circonferenza di raggio r, detta Ln la lunghezza del perimetro ed an l’apotema, l’area è data da: An = Lnan/2. Poiché, se n tende all’infinito, An tende all’area A del cerchio, Ln tende alla lunghezza C della circonferenza e an tende al raggio r, passando al limite, si ottiene la richiesta relazione: A = Cr/2.

[3] Inassignable, incomparable sono espressioni usate anche da Leibniz, in seguito alle obiezioni che si potevano fare alle quantità infinitamente piccole. Ad esempio nel Tentamen, pag. 86, è detto: ”si quis nolit adhibere infinite parvas, potest assumere  tam parvas quam sufficere  judicat, ut sint incomparabiles, et errorem nullius momenti, imo dato minorem, producant. Quemadmodum  terra pro puncto seu diameter terrae pro linea infinite parva habetur, respectu cieli sic demonstrare potest, si anguli latera habeant basin ipsis incomparabiliter minorem, angulum comprehensum fore recto incomparabiliter minorem, etc…..”. Ben diverso è però il significato che ha nell’articolo che stiamo considerando la parola inassignable: si riferisce a una variabile che, variando, può assumere valori tanto piccoli quanto si vuole (vedi il successivo n.6).

[4] Questo autore, contemporaneo di d’Alembert (nacque nel 1818) si serve, nella sua opera apologetica delle verità di fede, della matematica, cui dedica diversi lavori di notevole interesse (Biacino e Viola, 2018). Egli vuole dimostrare che nel mondo e nelle concezioni matematiche non interviene l’infinito attuale, o assoluto, che è prerogativa esclusiva della divinità: questa, secondo Gerdil e la filosofia malebranchiana cui egli aderisce, illuminando per emanazione le menti umane, rende possibile un’idea solo intuitiva e spontanea dell’infinito che predispone l’uomo al ragionamento, al calcolo e alla costruzione di enti matematici, come i numeri naturali, che sono sì infiniti, ma solo in potenza. Allo stesso modo Gerdil intende dimostrare che l’universo è finito, sono impossibili eterni cicli nel tempo e c’è stata una creazione. In ottimi rapporti con i filosofi francesi illuministi, nonostante la diversità delle sue idee dalle loro, nella guerra contro l’infinito assoluto in matematica Gerdil trova un’ottima via di uscita nel concetto di limite di d’Alembert, autore a sua volta decisamente contrario, anche se per motivi diversi, all’infinito attuale come chiaramente espresso nell’Articolo Infini sull’Encyclopédie.  Per motivi di carattere religioso -filosofico e anche di scienza, Cauchy nelle sue Sept Leçons de physique affermerà di condividere pienamente la posizione di Gerdil e lo definirà “uno dei più profondi filosofi che abbiano prodotto i tempi moderni”. Non è estraneo forse a questo giudizio tra l’altro il collegamento spesso evidenziato da Gerdil con la necessità di una legge che governi la variabilità al fine di poter determinare il limite di una quantità.

[5] Nell’articolo Fluxion (de la Chapelle, 1756) scritto da Jean Baptiste de la Chapelle per l’Encyclopédie, è data la definizione di flussione come parola di cui si è servito Newton quando considera le quantità matematiche come generate dal movimento: egli cerca il rapporto delle velocità variabili con cui tali quantità son descritte e sono tali velocità che egli chiama flussioni delle quantità date. Ad esempio si può supporre una parabola generata dal movimento di una retta che si muove parallelamente a se stessa uniformemente lungo le ascisse mentre un punto sulla retta la  percorre con una velocità variabile tale che la parte percorsa è sempre media proporzionale tra  un dato segmento e l’ascissa. Il rapporto tra la velocità di tale punto ad ogni istante e la velocità uniforme della retta è il rapporto della flussione dell’ordinata alla flussione dell’ascissa. L’autore giudica migliore la notazione (e la definizione) di Leibniz, con il d ad indicare la differenza delle ordinate a quella col puntino di Newton, ma comunque ad entrambe preferisce la definizione data da d’Alembert nell’articolo Differentiel. Infatti introdurre il movimento è introdurre una nozione estranea, per nulla necessaria alla trattazione. E d’altro canto la velocità non è nulla di reale: quando il moto è uniforme è il rapporto dello spazio al tempo, ma quando il movimento non è uniforme la velocità è il rapporto del differenziale dello spazio al differenziale del tempo, rapporto di cui non si può dare un’idea precisa se non come limite, e quindi bisogna rifarsi a questa idea per fornire un’idea precisa del concetto di flussione.

[6] E’ interessante osservare che c’è una stretta relazione in Leibniz tra l’idea di curva intesa come poligonale composta da infiniti archi infinitesimi (alla maniera di Archimede) e l’idea di differenziale. Ad esempio nel Nuovo metodo per i massimi e minimi… afferma: ”trovare la tangente è condurre una retta che congiunga due punti aventi una distanza infinitamente piccola, o tracciare il lato prolungato di un poligono infinitangolo che per noi equivale alla curva.” Più precisamente il poligono a infiniti lati è associato a una successione di valori infinitamente vicini di una variabile; la differenza tra due ordinate contigue, se ad esempio variabili sono le ascisse, è il corrispondente differenziale. In contrasto con il calcolo delle flussioni di Newton, basato sulla concezione della variabile, intesa come un flusso su un continuo di valori, in Leibniz le variabili descrivono successioni di valori infinitamente vicini (cfr. D. Bertoloni Mieli, pag.64). Per un’analisi dettagliata del concetto di retta tangente in Leibniz vedere anche (Dupont Roero, 1991, pag.107 e seguenti).

[7] Per avere un’idea del metodo delle tangenti di Fermat consideriamo ad es. la parabola di equazione y = ax2, un suo punto P di ascissa x, un punto vicino Q di ascissa x+E. Se si suppone E molto  piccolo si può ritenere che Q si trovi sulla  tangente  in P alla  parabola e quindi il  triangolo PQH, dove H = (x+E,ax2) sia simile al triangolo PKS, dove K=(x,0) e S=(c,0), essendo c la sottotangente. Vale  quindi l’uguaglianza: \([a(x+E)^2-ax^2]:E\cong ax^2:c,\) da cui, semplificando \(c\cong\frac{ax^2}{2ax+aE}.\) Ponendo E = 0 si passa all’eguaglianza c = x/2, che fornisce la soluzione.

[8] Essa non contiene il calcolo differenziale e non è altra cosa che il metodo di Barrow per le tangenti un po’ semplificato. D’Alembert aggiunge: E’ vero che Newton vi fa menzione del suo metodo per trovare le tangenti di ogni genere di curve, geometriche e meccaniche, vi siano o no radicali nell’equazione, ma si limita solo a dichiararlo. E’ importante tale giudizio, in quanto la lettera in oggetto, secondo la sentenza del Comitato della Società Reale costituisce una delle prove più importanti del plagio di Leibniz (Cantelli, 1969).  Ed in effetti non solo il metodo esposto nella lettera (sostanzialmente il metodo di Slusio) si applica solo a curve algebriche, ma nulla è detto circa la sua dimostrazione, che si può ottenere facilmente col metodo di Barrow. E’ il metodo di Barrow, che con opportuni accorgimenti, come si è visto, può applicarsi anche a curve non algebriche.

[9] In breve il calcolo differenziale effettivamente non è altro che il metodo delle tangenti di Barrow generalizzato.

[10] Chiunque sia l’inventore del calcolo differenziale non ha fatto altro che comprendere e completare quello che Barrow aveva quasi fatto e che il calcolo degli esponenti di Cartesio rendeva molto facile da perfezionare.

[11] Questa generalizzazione del metodo di Barrow che contiene il calcolo differenziale, o, ciò che è lo stesso, il metodo delle tangenti in generale, si trova in una lettera di Leibniz del 21 giugno 1677.

[12] Si determina il centro di gravità con un metodo uniforme, col quale già studiammo i massimi e i minimi e le tangenti delle curve, affinché con nuovi esempi ed una nuova importante applicazione, sia ben chiaro che sbagliano coloro che ritengono che il metodo fallisca.

[13] Chiaro riferimento alla curva poligonale di Leibniz di cui si è detto prima. Si noti che in questo studio Reyneau contempla anche il caso di curve traiettorie di un punto in movimento agito da due forze, una nella direzione dell’asse x e l’altra nella direzione dell’asse y  e determina la direzione della velocità risultante con il parallelogramma delle velocità da poco  introdotto da Varignon. In effetti Varignon, come del resto Newton che la pone alla base della meccanica, deduce la regola del parallelogramma da dati sperimentali. D’Alembert in seguito alla critica di Bernoulli che richiede una dimostrazione analitica cercherà di fornirne una (d’Alembert, 1761, démonstration du principe de la composition des forces).

[14] Nel calcolo differenziale le quantità che si trascurano, sono trascurate, non come si dice generalmente perché esse sono infinitamente piccole rispetto a quelle che rimangono, ciò che non produrrebbe che un errore infinitamente piccolo o nullo, ma perché esse debbono essere trascurate per avere un risultato rigorosamente esatto.

[15] Newton in una lettera a Collins, già dal 10 dicembre del 1672 asseriva di aver trovato un metodo per le tangenti simile a quello di Slusio e Gregory (Cantelli, 1969).

[16] Così la metafisica dell’infinito e delle quantità infinitamente piccole più grandi o più piccole le une delle altre è completamente inutile al calcolo differenziale. Ci si serve del termine infinitamente piccolo per abbreviare le espressioni. Noi non diremo dunque con tanti geometri che una quantità è infinitamente piccola, non prima che essa svanisca, non dopo che sia svanita, ma nell’istante stesso in cui svanisce: perché cosa vuol dire una definizione così falsa, cento volte più oscura di quello che si vuole definire? Noi diremo che non ci sono nel calcolo differenziale quantità infinitamente piccole.

[17] E’ questa metà del ddy che Newton ha confuso con il ddy intero.

[18] Come lo stesso d’Alembert indica, egli parla di questi due modi diversi di concepire le curve già nel Discorso Preliminare, p.293; nell’articolo Courbe dell’Encyclopédie, nel Traité de Dynamique, I.parte, capitolo delle forze centrali.

[19] Bernard Nieuwentijdt, matematico e fisico olandese, negli anni 1694-95, sferrò un attacco contro l’analisi di Newton e i differenziali di ordine superiore di Leibniz, attacco che sarebbe  poi stato seguito da un buon numero di matematici. Sebbene in generale apprezzasse la correttezza dei loro risultati, Nieuwentijdt deprecava l’oscurità dei loro metodi: ad esempio osservava che il metodo delle tangenti di Barrow non era giustificato in alcun modo, al pari del metodo delle quantità evanescenti di Newton. In alternativa proponeva una sua teoria che rappresentava una regressione rispetto al corso degli studi che volgevano verso l’emergere dell’idea di limite (Boyer, 1949).

 

 

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Autore dell'articolo: Loredana Biacino

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