Soluzioni ai problemi del N.19 di Angolo Acuto, ottobre 2018

Nelle pagine seguenti vengono riportate le soluzioni, scelte fra le migliori ricevute, dei quesiti del primo gruppo di problemi, dal problema 1 al problema 4.

Gli attuali partecipanti al Concorso Angolo Acuto 2019 (ma tutti possono ancora partecipare!) sono:

Per la categoria Specialisti: il Prof. Adriano Donadoni , ISIS G.Natta di Bergamo che totalizza il punteggio di  4+5+3+3=15 (su 4+6+3+3=16) punti.

La Redazione lo ringrazia per l’impegno e la cura dimostrata nella preparazione delle risposte.

Ricordiamo che tutti i lettori possono ancora partecipare al Concorso 2019, proponendo la soluzione dei nuovi problemi!

Le regole del Concorso 2019 si trovano qui.

Le soluzioni di questo numero sono state proposte dal Prof. Adriano Donadoni.

Problema 1. (4 punti)
Siano \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(4\) numeri interi e sia \(f(x)\) un polinomio a coefficienti interi e tale che \(f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=3\).

Può esistere un numero intero m tale che \(f(m)=2\)?
E se \(g(x)\) è un polinomio a coefficienti interi e tale che \(g(a)=g(b)=g(c)=3\), può esistere un numero intero \(m\) tale che \(g(m)=2\)?

Soluzione

Supponiamo che \(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑚\) siano tutti distinti, come sembra lasci intendere il problema. La risposta è negativa in entrambi i casi. Dimostriamolo nel caso di \(𝑔(𝑥).\)  Consideriamo il polinomio \(ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) − 3.\)
\(𝑎, 𝑏,\) 𝑒 \(𝑐\) sono radici di \(ℎ(𝑥)\) e quindi

\[ℎ(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐)𝑘(𝑥)\]

con \(𝑘(𝑥)\) polinomio a coefficienti interi. Per ipotesi

\[ℎ(2) = −1 ⇔ (2 − 𝑎)(2 − 𝑏)(2 − 𝑐)𝑘(𝑥) = −1 \]

il che è impossibile perchè il numero \(−1\) ammette solo due divisori distinti.

Problema 2. (6 punti)
Si inseriscano i numeri da 1 a 7 nelle regioni del seguente cerchio in modo che la somma dei numeri da un lato e dall’altro di ciascuna corda sia uguale. Quali numeri possono essere posti al centro?

Soluzione

Cerchiamo possibili limitazioni sul numero centrale \(𝑒.\)
In riferimento alla figura, si deve avere che

\[𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 + 𝑒 +𝑓,\]

da cui \(𝑎 = 𝑒 + 𝑓.\) Similmente

\(𝑔 = 𝑒 + 𝑏\)  e \(𝑐 = 𝑒 + 𝑑.\)
Ovvero

\[𝑒 = 𝑎 − 𝑓 = 𝑔 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑.\quad  [1]\]
Consideriamo i numeri \(𝑓, 𝑏\) e \(𝑑\) (quelli nei settori “grandi” del disegno). Almeno uno di questi tre numeri deve essere almeno
uguale a \(3\). Poiché tutti i numeri sono minori o uguali a \(7,\) dalla [1] deduciamo che \(1 \leq 𝑒 \leq 4.\)

Proviamo a trovare una configurazione per \(𝑒 = 1,\) \(𝑒 = 2\) ed \(𝑒 = 4\) (trovate durante la classica“esplorazione” iniziale del problema).

Non si trova una configurazione con \(𝑒 = 3.\) Dimostriamo per assurdo che ciò non è possibile (a cura della redazione). Poichè \(1+2+3+4+5+6+7=28\), le uniche configurazioni possibili di tre numeri ai lati di ciascuna corda con somma \(14\) possono essere

\[(1,6,7),\quad (2,5,7),\quad (3,4,7),\quad (3,5,6).\]

Se \(e=3\) allora quelle ammissibili sono solo due: \((1,6,7),\quad (2,5,7),\) e ciò è impossibile perchè le corde sono tre.

 

Problema 3. (3 punti)

Se si piega un foglio di carta rettangolare di base 10 cm ed altezza 7 cm lungo una sua diagonale, qual è l’area della figura formata dai 2 fogli sovrapposti?

Soluzione

Risolviamo il problema nel caso di un generico rettangolo di base \(b\) e altezza \(h.\) Per semplicità sia \(𝐴𝐵 = 𝑏\) e \(𝐵𝐶 = ℎ.\)
In riferimento alla figura, si richiede di determinare l’area del poligono \(BCEA’D,\) che è uguale all’area del rettangolo meno l’area del triangolo \(DBE.\) La retta \(EM\) è asse di simmetria del poligono\(BCEA’D,\) e quindi il triangolo \(BDE\) è isoscele. In particolare il triangolo \(DME\) è rettangolo e simile al triangolo \(ABD.\) Il rapporto di similitudine è dato da

\[\frac{𝐷M}{𝐴𝐵} =\frac{EM}{BC}\Rightarrow EM=h\frac{\sqrt{b^2+h^2}}{2b}.\]

Quindi l’area del triangolo \(DBE\) vale

\[ 2\cdot\frac{bh}{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{b^2+h^2}}{2b}\right)^2 =\frac{b^2+h^2}{4b} h.\]

L’area del poligono \(BCEA’D\)  vale quindi

\[bh-\frac{b^2+h^2}{4b} h=\frac{3b^2-h^2}{4b}h=\frac{1757}{40}.\]

Problema 4. (3 punti)

Si scriva la cifra delle unità del numero \(156902^{156902}\).

Soluzione

La cifra delle unità del numero proposto è il risultato di moltiplicazioni successive di \(2\) per sé stesso, in altre parole è la cifra delle unità del numero \(2^{156902}\). La cifra delle unità delle potenze del \(2\)  sono rappresentate dalla sequenza\( \{2,4,8,6\}\) che si ripete ciclicamente a partire dalla potenza \( 2^1\). Dato che \(156902 =2 (mod 4)\), la cifra delle unità del numero proposto è \(4\).

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Autore dell'articolo: admin

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