Problemi del numero 20 (seconda serie dei problemi del Concorso 2019)

Problema 5. (4 punti) Per dirimere l’annosa questione di chi debba lavare i piatti dopo la cena, Paolo propone a Piero di giocarsela in un nuovo gioco: disposte sul tavolo un numero a  caso di carte da gioco, ciascuno, a turno, può prenderne \(1,\)  \(2,\) o \(3.\) Perde  chi rimane con l’ultima carta. Piero accetta e Paolo insiste per giocare per primo.
Quale ragionamento motiva l’insistenza di Paolo?

 

Problema 6. (4 punti) Assegnato un triangolo, siano \(a\) e \(b\) le misure di due dei suoi lati. Dimostrare  che il raggio della circonferenza inscritta non supera un quarto della diagonale del rettangolo di lati \(a\) e \(b.\)

 

Problema 7. (5 punti)  Quante Regine del gioco degli scacchi, in egual numero, bianche e nere,  è possibile disporre al massimo su una scacchiera \(5\) per \(5\) in modo che nessuna ne attacchi un’altra, e in quali posizioni?

 

Problema 8. (3 punti)  “A furia di moltiplicare \(5\) per sé stesso si arriva ad un numero di \(100\) cifre”, disse il professore in classe. “Sì”, replicò Angela, senza  guardare la calcolatrice, “ma sono necessarie più di \(130\) moltiplicazioni!”.
Come ha fatto Angela a giungere alla sua conclusione?

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