Sequenze di Farey ed equazioni diofantee lineari in due indeterminate

Donato Saeli

donato.saeli@gmail.com

I PARTE

Introduzione

Nel 1950 il matematico inglese E. H. Neville pubblica il volume:

“Farey series of order 1025”, Royal Society Mathematical Tables, I  (Cambridge University Press)

col sotto-titolo “displaying solutions of the diophantine equation \( bx – ay = 1\)”.

Una riproduzione al calcolatore di questo lavoro, ad opera di Denis  Roegel, si trova sul sito locomat.loria.fr, dedicato alla ricostruzione di celebri ed importanti (almeno da un punto di vista storico) tavole matematiche.

Se \( n \) è un intero positivo, si dice sequenza di Farey di ordine \( n \) e si indica con \( F_n \, , \) la totalità delle frazioni \(\underline{ridotte}\) \( h/k \) tali che:

\( 1 \leq k \leq n \) e \(\; 0/1 \leq h/k \leq 1/1 \, ; \) disposte in ordine \(\underline{crescente}\).1

Nelle tavole di Neville sono elencate, in 400 pagine, le 319.765 frazioni della sequenza di Farey \(F_{1025}\). Per ogni frazione \( h/k \) è riportata (in verticale) la tripla \( h \ k \,\ k-h \, ; \)  ci\`o permette di terminare le tavole con la tripla 1 2 1 (ovvero con la frazione \( 1/2 \). Le frazioni successive a \( 1/2 \) vanno trovate leggendo la tabella in senso inverso e le triple dal basso verso l’alto.

Ogni pagina è composta da 20 righe contenente 20 triple

L’interesse principale di queste tavole, a parte lo scopo di trovare approssimazioni razionali per numeri “irrazionali”, sta nel fatto che se \( a/b \) e \( x/y \) sono frazioni consecutive in una sequenza di Farey, allora \( bx – ay = 1 \) (teorema di Farey-Cauchy).

Così queste tavole possono essere pensate come una tabella di soluzioni dell’equazione \(\underline{diofantea}\) \( bx – ay = 1 \) per tutte le coppie di interi \( a, \ b \) tali che \( 1 \leq a \leq b \leq 1025 \) e \(mcd(a,b) = 1 \, ; \) basta trovare nelle tavole la frazione \( a/b, \) allora i termini della frazione successiva \( x/y \) ne costituiscono una soluzione “particolare”.

Le tavole di Neville non furono accolte con grande entusiasmo dai recensori dell’epoca, soprattutto a causa delle notevoli difficoltà di localizzazione:

“… Poiché le tavole in esame non riportano gli equivalenti decimali delle frazioni elencate, vi è una notevole difficoltà nel localizzare una data frazione nella sequenza, come pure nella collocazione di un dato numero irrazionale (o razionale con denominatore maggiore di 1025) tra due frazioni consecutive. Mentre sarebbe chiaramente fuori questione aggiungere l’equivalente decimale per ogni frazione elencata, sembra al recensore che sarebbe stato abbastanza agevole aggiungere gli equivalenti decimali dell’ultima coppia di frazioni alla fine di ogni riga. Ciò avrebbe elevato considerevolmente il valore delle tavole, perchè ne avrebbe reso molto più facile l’uso. …” [1].

Tuttavia la recensione di Rado [3] non solleva critiche ed appare (non a caso) più benevola.

Le soluzioni di una qualunque equazione diofantea \( Ax + By = C \) si possono ricondurre a una soluzione di una equazione del tipo \( bx – ay = 1 \, ; \) occorre però determinare il massimo comun divisore di \( A \) e \( B, \). Dal calcolo di qest’ultimo alla soluzione diretta dell’equazione originale il passo è breve, come vedremo in questa prima parte  dell’articolo.

1 Equazioni diofantee lineari in due indeterminate

Richiamiamo per comodità del lettore, alcune nozioni di aritmetica elementare.

Se \( a \) e \( b \) sono numeri interi non entrambi nulli, si dice  massimo comun divisore di \( a \) e \( b \) e si indica con \(mcd(a,b), \) il massimo numero naturale che divide entrambi \( a \) e \( b. \)

Se \(mcd(a,b) = 1 \) diciamo che \( a \) è  primo con \( b, \) o che \( a \) e \( b \) sono primi fra loro.

Lemma 1.

Se un sottoinsieme \( S \) non vuoto di \(\mathbb{Z} \) soddisfa la condizione che comunque si scelgano due suoi elementi \( a \) e \( b, \) anche la differenza \( a – b \) appartiene a \( S, \) allora vi è un intero non negativo \( c \) tale che \( S = \{zc; \ z \in \mathbb{Z}\}.\)

Dimostrazione.

Può essere \( S=\{0\}, \) in questo caso \( c=0 \) e l’enunciato è ovviamente valido.

Se \( a \in S\, , \ a \neq 0\, , \) allora anche \( 0 – a = -a \in S\, ; \) dunque \( S, \) contiene dei naturali. Consideriamo fra questi il minimo \( m. \) Si verifica facilmente che \( S \) contiene tutti i multipli interi di \( m; \) inoltre se \( a \in S, \) possiamo scrivere \( a = mq + r, \) con \( q, r \) interi e \( 0 \leq r < m \) e poiché \( r = a – mq \) appartiene a \( S, \) deve essere \( r = 0 \) e \( a = mq, \) dunque \( c = m. \)

Proposizione 2.

Se \(a\) e \(b\) sono interi non entrambi nulli, l’insieme
 \[S = \{ax + by; \ x \ e \ y \in \mathbb{Z} \} \]
coincide con l’insieme di tutti i multipli interi di \( d = mcd(a,b). \)

Dimostrazione.

Ovviamente \( S \) soddisfa la condizione del lemma 1 (e contiene elementi non nulli), pertanto vi è un naturale \( c \) tale che \( S = \{zc; \ z \in \mathbb{Z} \}. \) Perciò \( c \) divide ogni elemento di \( S, \) in particolare \( c \mid a \) e \( c \mid b \) e poiché \( d \) è il massimo comun divisore di \( a \) e \( b, \) si ha: \( c \leq d. \)

D’altra parte \( d \mid (ax + by), \ \forall x,\ y \in \mathbb{Z}, \) cosicché \( d \) divide ogni elemento di \( S, \) in particolare \( d \mid c \) e perciò \( d \leq c. \) Ne segue \( c = d \) e l’asserto.

Corollario 3.

L’equazione \( ax + by = c, \) con \( a, \ b \ e \ c \in \mathbb{Z}, \) ammette soluzioni a componenti intere se e solo se \(mcd(a,b) \mid c \, ; \) in particolare l’equazione \( ax + by = mcd(a,b) \) ammette \(\underline{sempre}\)  soluzioni a componenti intere.

 

Ci proponiamo ora di determinare (posto che ve ne siano) tutte le soluzioni a \(\underline{com}p\underline{onenti}\) \(\underline{intere}\) dell’equazione diofantea lineare nelle due indeterminate \( x \) e  \( y \)

\((1)\)          \(ax+by=c\),           \(a, \ b, \ c, \ x, \ y\ \in \mathbb{Z}\).
Se \((x_0,y_0) \) e \((x_1,y_1) \) sono soluzioni della \((1), \) la coppia \((x_1-x_0,y_1-y_0) \)  è soluzione dell’equazione

\((2)\)         \(ax+by=0\);

d’altra parte se \((x_0,y_0) \) e \((\bar{x},\bar{y}) \) sono soluzioni della \((1) \) e della \((2), \) rispettivamente, la coppia \((x_0+\bar{x},y_0+\bar{y}) \) soddisfa la \((1) \).

Dunque ogni soluzione della \((1) \) si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare fissata una opportuna soluzione della \((2) \).

Possiamo chiamare la \((2) \)  equazione omogenea associata alla \((1) \).

Dividendo la \((2) \) per \( d = mcd(a,b) \) si ottiene l’equazione equivalente

\((3)\)         \(a’x+b’y=0\),          ove  \(\ a’ = a/d, \quad b’ = b/d \ \)     e    \(\ mcd(a’,b’)=1. \)2

Se la \((3) \) è soddisfatta dalla coppia di interi \((\bar{x},\bar{y}),\) da \( b’\bar{y} = -a’\bar{x} \)

e \(mcd(a’,b’) = 1 \) segue che \( b’ \mid \bar{x}. \)Così \(\bar{x} = b’t \) e \(\bar{y} = -a’t \) con \( t \in \mathbb{Z}. \)

Ne segue che \((\frac{b}{d}t,-\frac{a}{d}t), \) con \( t \) parametro intero arbitrario, è la soluzione generale delle equazioni \((3) \) e \((2).\)

Pertanto se \( d \mid c \) e \((x_0,y_0) \) è una soluzione particolare dell’equazione \((1), \) allora
\[(x_0+\frac{b}{d}t,y_0-\frac{a}{d}t),\quad \forall t\in\mathbb{Z},\]
ne è la soluzione generale.

Notiamo che se la \((1) \) ammette soluzioni a componenti intere, allora ne ammette infinite; vale a dire che se sulla retta di equazione \((1) \) giace un punto a coordinate intere, allora sulla stessa retta ve ne sono infiniti.

 

Vi sono parecchi modi di determinare una soluzione particolare della \((1),\)

ne illustriamo adesso uno che possiamo chiamare “metodo per tentativi”.4

Supponiamo che la \((1) \) ammetta soluzioni e che \((x_0,y_0) \) sia una soluzione particolare, cosicché \( (x_0+\frac{b}{d}t,y_0-\frac{a}{d}t), \) con \( t\in\mathbb{Z}, \) ne sia la soluzione generale.

Se si suppone \( b > 0, \) poiché gli intervalli \(\Big[x_0+\frac{b}{d}t, \, x_0 + \frac{b}{d} (t+1)\Big), \ t\in \mathbb{Z}, \) costituiscono una partizione di \(\mathbb{R}, \) vi è \(\bar{t} \in \mathbb{Z} \) tale che
\[x_0 + \displaystyle \frac{b}{d} \bar{t} \leq 1 \qquad {\rm e} \qquad  1 < x_0 + \frac{b}{d}(\bar{t}+1).\]

Se \( x_0 + \frac{b}{d} \bar{t} = 1, \) allora \(1\) è la prima componente di una soluzione particolare della \((1);\)

se \( x_0 + \displaystyle \frac{b}{d} \bar{t} < 1, \) cioè se \( x_0 + \displaystyle \frac{b}{d} \bar{t} \leq 0, \)   allora \( 1 < x_0 + \frac{b}{d} (\bar{t}+1) \leq \frac{b}{d} \leq  b.\)

Dunque, se la \((1) \) è risolubile, vi è una soluzione particolare \((x_1,y_1) \) con \(\ 1 \leq x_1   \leq b. \)

Così la \((1) \) ammette soluzioni se e solo se vi è un intero \( 1 \leq x_1 \leq b \) tale che \( b \mid (c – a x_1); \) in tal caso, posto \( y_1 = \frac{c-a x_1}{b}, \) la coppia \((x_1,y_1)\) è una soluzione particolare della\((1).\)

Se la \((1) \) ammette soluzioni conviene determinare (sempre per tentativi) anche la soluzione con prima componente \( x_2 \) \(\underline{successiva}\) a \( x_1, \) perché da \(\displaystyle x_2 = x_1 + \frac{b}{d}\) si può ricavare  \(\displaystyle d = \frac{b}{x_2-x_1}\)  e quindi la soluzione generale.

 

Vediamo qualche esempio.

Esempio I.

Risolvere l’equazione
\[57x+133y=10013 \qquad (4).\]

Determiniamo (con l’aiuto di una calcolatrice magari programmabile) i valori successivi di
\(y = \frac{10013-57x}{133},\) per \(x=1,2,\dots,133\), finché non si ottiene un intero; abbiamo:
\[\begin{array}{rll}
x &|&  y \\
\hline
1 &|&  74,85… \\
2 &|&  74,42… \\
3 &|&  74 \gets\!\multimap
\end{array}\]

Ora dobbiamo continuare finché non otteniamo il successivo valore intero  per \( y\):
\[\begin{array}{rll}
x&|&  y \\
\hline
4 &|&  73,57… \\
5 & |& 73,14… \\
6 &|&  72,71… \\
7 &|&  72,28… \\
8 &|&  71,85… \\
9 &|&  71,42… \\
10 &|&  71  \gets\!\multimap
\end{array}\]

Pertanto \(d = mcd(57,133) = \frac{133}{10-3} = 19\) e \( (3 + \frac{133}{19}t, 74 – \frac{57}{19}t) =  (3+7t,74-3t)\),  con \(t,\) parametro intero arbitrario, è la soluzione generale della\( (4)\).

Spesso viene richiesto di determinare le soluzioni a componenti intere \(\underline{positive}\) della \( (4)\), oppure talvolta il loro numero, giacché l’equazione \(ax+by=c\), \ con \(a\), \(b\) e \(c\in\mathbb{N}\) può avere solo un insieme finito di soluzioni a componenti in \(\mathbb{N}\).

Considerando la soluzione generale della \( (4)\), deve essere \( 3+7t>0\)  e \(74-3t>0\) ossia \(-\frac{3}{7}<t<\frac{74}{3}=24+\frac{2}{3}\) \ da cui, essendo \(t\) intero,  \(0 \leq t \leq 24\).

 

Abbiamo pertanto le 25 soluzioni \((3,74), \ (10,71), \ \dots, \ (171,2) \) a componenti intere positive.

 

Esempio II.

Risolvere l’equazione  \( 57 x + 133 y = 10015 \qquad (5). \)

Osserviamo che la \( (5)\) differisce dalla \( (4)\) dell’esempio precedente solo per  il termine noto e sappiamo che \( 19 = mcd(57,133) \mid 10013 \),  pertanto è chiaro che \( 19 \nmid 10015 \) e che la \( (5)\) non ammette soluzioni a componenti intere.

Notiamo che se avessimo dovuto risolvere la \( (5)\) senza alcuna informazione, operando direttamente per tentativi, sarebbe stato necessario calcolare \(\underline{tutti} \) i 133 valori successivi di  \(y=\frac{10015-57x}{133}\),  per  \( x=1,2,\dots,133\),  per concludere che la \( (5)\) non ammette soluzione, ovvero che \(d=mcd(57,133)\nmid 10015\), senza peraltro disporre (almeno apparentemente) del valore di \( d \).

Rimane evidente come il metodo “per tentativi” non brilli per efficienza;  tuttavia è facile ricavarne programmi da usare al calcolatore: tenta.c

Passiamo ora al procedimento classico di risoluzione della \((1) \) che consiste nell’algoritmo euclideo delle divisioni successive, per la determinazione del massimo comun divisore \( mcd(a,b) \) di due numeri interi \( a \) e \( b > 0. \)

Seguiamo qui le notazioni del testo di Vinogradov ([6], pag. 3) che si accordano bene con la successiva estensione dello stesso  algoritmo.

Eseguendo la divisione euclidea di \( a \) per \( b \) si ottengono le due relazioni poste nella prima riga delle \((6)\);  si divide poi \( b \) per \( r_2, \),  \( r_2 \) per \( r_3, \),  …

\[\left. \begin{array}{ll}
a = bq_1 + r_2 \, ,& 0 < r_3 < r_2 \,, \\
r_2 = r_3q_3 + r_4 \, ,& 0< r_4 < r_3 \,, \\
\cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot  &\cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \\
\cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot & \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \\
r_{n-3} = r_{n-2}q_{n-2} + r_{n-1} \, , & 0< r_{n-1} < r_{n-2} \,, \\
r_{n-2} = r_{n-1}q_{n-1} + r_n \, , & 0< r_n < r_{n-1} \,, \\
r_{n-1} = r_nq_n.
\end{array}\qquad\right\} \qquad  (6)\]

Questa sequenza conduce ad un resto \( r_{n+1} \) nullo, perché \( b, \, r_2, \, r_3, \dots \) è una sequenza decrescente di interi positivi e non può contenere più di \( b \) termini.

Dalla prima uguaglianza in \((6)\) segue che i divisori comuni degli interi \( a \) e \( b \) sono gli stessi degli interi \( b \) e \( r_2, \)  dalla seconda che i divisori comuni di \( b \) e \( r_2 \) sono gli stessi di \( r_2 \) e \( r_3, \dots , \) dalla penultima che i divisori comuni di \( r_{n-2} \) e \( r_{n-1} \) sono gli stessi di \( r_{n-1} \) e \( r_n. \)

Così  abbiamo:
\[mcd(a,b) = mcd(b,r_2) = mcd(r_2,r_3) = \dots = mcd(r_{n-1},r_n)  = r_n\,;\]
cioè il massimo comun divisore di \( a \) e \( b \) è \( r_n\,, \) l’ultimo resto non nullo  nell’algoritmo euclideo.

Prendiamo ora in considerazione le uguaglianze in \((6\)).
Dalla prima  otteniamo:

\[ r_2 = a – q_1b = ah_2 + bk_2 \, , \qquad \text{posto} \ \ h_2 = 1 \ \ \text{e} \ \ k_2 = -q_1 \, . \]

Sostituendo questa espressione di \( r_2 \) nella seconda e ricavando \( r_3 \)  abbiamo
\[ r_3 = b – q_2(ah_2 + bk_2) = – q_2ah_2 + b(1 – q_2k_2) = ah_3 + bk_3 \, , \\
\text{posto} \ \ h_3 = – q_2h_2 \ \ \text{e} \  \ k_3 = 1 – q_2k_2 \, . \]

Ricavando \( r_4 \) dalla terza uguaglianza e sostituendo \( r_2 \) e \( r_3 \) con le espressioni già ottenute,  abbiamo
\[ r_4 = ah_2 + bk_2 – q_3(ah_3 + bk_3) = a(h_2-q_3h_3) + b(k_2-q_3k_3) = ah_4 + bk_4 \, , \\
\text{posto} \ \ h_4 = h_2-q_3h_3 \ \ \text{e} \ \ k_4 = k_2-q_3k_3 \, . \]

E’ chiaro che in generale possiamo  scrivere  \( r_i = ah_i + bk_i\,, \)
con
\[h_i = h_{i-2}-q_{i-1}h_{i-1} \, , \qquad k_i = k_{i-2}-q_{i-1}k_{i-1} \, . \qquad (7) \]

Se conveniamo che  \[h_0 = 1, \; k_0 = 0; \qquad h_1 = 0, \; k_1 = 1 \, , \qquad (8) \]
allora le (7) saranno valide per \( i = 2, \, \dots, n \, ; \) vale a dire che le due  sequenze  di interi

\[ \ \ h_0, \, h_1, \, h_2, \, \dots, h_n \ \ \ \text{e} \ \ \ k_0, \, k_1, \, k_2, \, \dots, k_n \ \ \]

si possono determinare,  per ricorrenza a partire dalle (8), mediante le (7).

Ne segue  l’algoritmo:
\[\left. \begin{array}{lll}
& h_0 = 1, &  k_0 = 0, \\
&h_1 = 0, &  k_1 = 1, \\
a = bq_1 + r_2 \, , & h_2 = h_0-q_1h_1 \, , & k_2 = k_0-q_1k_1 \, , \\
b = r_2q_2 + r_3 \, , & h_3 = h_1-q_2h_2 \, , & k_3 = k_1-q_2k_2 \, , \\
r_2 = r_3q_3 + r_4 \, , & h_4 = h_2-q_3h_3 \, , & k_4 = k_2-q_3k_3 \, , \\
\cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot & \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot &\cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \\
\cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot & \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot &\cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \\
r_{n-3} = r_{n-2}q_{n-2} + r_{n-1} \, ,
&    h_{n-1} = h_{n-3}-q_{n-2}h_{n-2}, & k_{n-1} = k_{n-3} – q_{n-2}k_{n-2} \, , \\
r_{n-2} = r_{n-1}q_{n-1} + r_n \, ,
&   h_n = h_{n-2}-q_{n-1}h_{n-1}, &  k_n = k_{n-2} – q_{n-1}k_{n-1} \, , \\
r_{n-1} = r_nq_n. & &
\end{array} \ \right\} (9)\]

Pertanto mediante questo sviluppo dell’algoritmo, oltre al massimo comun divisore \( r_n, \) riusciamo a determinare due numeri interi \( h_n \) e \( k_n \) per i  quali \( r_n = ah_n + bk_n, \)  vale a dire una soluzione particolare  dell’equazione  \( ax+by = mcd(a,b)\,. \)

Se \(mcd(a,b) \!\mid\! c, \) possiamo ottenere facilmente la soluzione generale della \((1).\)

L’algoritmo di Euclide così modificato prende il nome di alg. euclideo esteso perchè a fianco di ciascuna divisione \( r_{i-1} = r_iq_i + r_{i+1} \) occorre calcolare \( h_{i+1} = h_{i-1}-q_{i}h_{i} \)  e \(k_{i+1} = k_{i-1} – q_{i}k_{i}. \)   [7]

 

Esempio III.

Risolvere l’equazione
\[1547x+560y=2835 \qquad (10). \]

Applichiamo l’algoritmo euclideo esteso ai numeri interi 1547 e  560:

\[\left. \begin{array}{lll}
a = 1547, & h_0 = 1, & k_0 = 0 \\
b = 560,  & h_1 = 0, &  k_1 = 1 \\
1547 = 2 \times 560 + 427, & q_1 = 2 & \\
r_2 = 427, & h_2 = 1, & k_2 = -2 \\
560 = 1 \times 427 + 133, & q_2 = 1& & \\
r_3 = 133,  & h_3 = -1, & k_3 = 3 \\427 = 3 \times 133 + 28, & q_3 = 3&& \\
r_4 = 28,  & h_4 = 4, & k_4 = -11 \\
133 = 4 \times 28 + 21, & q_4 = 4&& \\
r_5 = 21, & h_5 = -17, & k_5 = 47 \\
28 = 1 \times 21 + 7, &  q_5 = 1&& \\
r_6 = 7,  & h_6 = 21,  & k_6 = -58 \\
21 = 3 \times 7 + 0, & q_6 = 3 &&\\
r_7 = 0 \, .
\end{array} \quad \right\}  \]

Dunque

\(mcd(a,b) = r_6 = 7 = h_6 a + k_6 b = 21 \times 1547 – 58 \times  560, \)

\( mcd(a,b) \mid c, \)

ed è:

\( 2835 = 405 \times 7 = (405 \times 21) \times 1547 + [405 \times (-58)] \times  560,\)

\( 2835 = 8.505 \times 1547 – 23.490 \times  560.\)

Pertanto \((8.505,-23.490) \) è una soluzione particolare della\((10)\);  segue la soluzione generale

\[ (8.505 – \frac{560}{7}t \, ,-23.490 +  \frac{1547}{7}t) = (8.505 – 80t, -23.490 + 221t) \]

\[\quad\quad= (25 – 80s, -64 + 221s), \]

dove  l’ultima uguaglianza si ottiene sostituendo il parametro intero \( t \) con  \( s + 106. \)

Naturalmente anche l’algoritmo euclideo esteso si presta allo sviluppo di programmi da usare al calcolatore: eules.c

Nella seconda parte vedremo quale ruolo assumono le sequenze di Farey  e le equazioni diofantee nella problematica dell’approssimazione degli irrazionali mediante  razionali.

Bibliografia

[1] Bateman P. T., Review: E. H. Neville, The Farey series of order 1025, displaying solutions of the diophantine equation bx-ay=1,
Bull. Amer. Math. Soc., 57-4 (1951), 325-326.
[2] Nagell Trygve, Introduction to Number Theory, John Wiley sons, inc., New York, 1951.
[3] Rado R., Review: The Farey Series of Order 1025. By E.H. Neville, The Mathematical Gazette, 36(315), 60-61.
[4] Saeli D., La distribuzione dei razionali sulla retta reale,  (2017).
[5] Uspensky J. V., Heaslet M. A., Elementary Number Theory, McGraw-Hill, New York, 1939.
[6] I. M. Vinogradov, An Introduction to the the Theory of Numbers, Pergamon Press, New York, 1955.
[7] https://en.wikipedia.org/wiki/Extended\_Euclidean\_algorithm.

1 Per le nozioni principali sulle sequenze di Farey si veda ad es. [4].

2 Si vede facilmente che se \(mcd(a,b) = d, \) allora \(mcd(a/d,b/d) = 1 \).
3 Per il lemma di Euclide: Se \( m \mid h \cdot k \) e \((h,k) = 1, \) allora \( m \mid k \).
4 In [2], pag. 30 si legge: “A solution may always be found by trial.”, ma non viene spiegato come e perché.
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Autore dell'articolo: Donato Saeli

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