Un’esperienza didattica sulle serie numeriche

Angelica Malaspina  angelica.malaspina@unibas.it

Lucia Rosa  lucia.rosa3@istruzione.it

Introduzione

La definizione del concetto di serie numerica è un argomento delicato, in quanto tale nozione si sovrappone a quello naturale di addizione. Nonostante i simboli usati possano suggerire allo studente una stretta analogia con l’usuale addizione, sappiamo che la serie numerica non è riconducibile ad una somma con tantissimi termini, dato che un’addizione di numeri ha sempre uno ed un solo risultato, mentre
una serie può avere somma finita (serie convergente), somma infinita (sere divergente) oppure non ammettere somma (serie indeterminata).

Partendo da queste considerazioni abbiamo deciso di sviluppare un’esperienza didattica di conoscenza del concetto di serie numerica in un Istituto di Istruzione Superiore. Ciò  è stato reso possibile grazie al Piano nazionale Lauree Scientifiche (promosso e finanziato dal M.I.U.R.) a cui il Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia dell’Università degli Studi della Basilicata ha aderito.

 

In questo articolo, descriviamo sommariamente il laboratorio didattico, tenuto da Angelica Malaspina, ricercatrice universitaria presso l’Università degli Studi della Basilicata, in collaborazione con la docente Lucia Rosa, per alcuni studenti delle ultime classi del Liceo Scientifico Galileo Galilei di Potenza.

Durante lo svolgimento delle attività abbiamo cercato di stimolare la partecipazione, la discussione ed il confronto, alternando lezioni teoriche con attività di laboratorio. Abbiamo anche utilizzato numerosi riferimenti storici allo scopo di contestualizzare il concetto di serie e di incuriosire maggiormente gli studenti.

L’articolo è strutturato nella seguente maniera. Nella Sezione 1 con l’uso di esempi e rimandi storici abbiamo individuato le serie convergenti, divergenti ed indeterminate. Nella Sezione 2 abbiamo dimostrato la formula della somma di una serie geometrica con un ragionamento di tipo frattale. Ed infine nell’ultima Sezione abbiamo illustrato alcune applicazioni della serie geometrica, come la trasformazione di un numero decimale periodico in un numero razionale e la costruzione e le proprietà del fiocco di neve di von Koch.

 1. Carattere di una serie

Serie divergenti.

Abbiamo chiesto agli studenti quanto fa la somma di infinite volte \(1\):

\begin{equation}
1+1+1+1+\ldots\quad \quad (1)
\end{equation}

Tutti sono stati d’accordo nel rispondere che continuando a sommare \(1\) a sè stesso si ottiene un numero via via più grande. E’ sembrato naturale attribuire alla (1) il valore: più infinito.

Serie indeterminate.

Abbiamo proposto agli studenti di esprimere la loro opinione circa la seguente somma:
\begin{equation}
1-1+1-1+1-1+\ldots\quad\quad (2)
\end{equation}
dando a ciascuno un foglio su cui scrivere le loro impressioni. Dopo aver concesso un certo tempo per riflettere, abbiamo letto le risposte e abbiamo instaurato un dialogo che ha visto la partecipazione di tutti.

Alcuni hanno risposto che, a seconda di come si associano a due a due i termini di (2), la somma è \(0\):
\[
(1-1) + (1-1)+ (1-1)+ \ldots =0+0+0+\ldots =0\]
oppure è \(1\):
\[ 1+(-1+1) + (-1+1)+ (-1+1)+ \ldots =1+0+0+0+\ldots =1.
\]
Altri, invece, hanno risposto che costituendo la (2) un’addizione di infiniti termini, la somma non si può calcolare.

Abbiamo fatto notare ai ragazzi che le giustificazioni fornite riflettono alcune motivazioni storiche. Infatti, la (2) è una delle più celebri serie indeterminate della storia della matematica: essa è nota come la serie di Grandi, dal nome del matematico cremonese Guido Grandi (1671-1742) che la studiò. In particolare, egli affermò che:

“Mettendo in modo diverso le parentesi nell’espressione \(1-1+1-1+ \ldots\) io posso, volendo, ottenere 0 o 1.”

Attraverso questa esperienza didattica abbiamo fatto capire agli studenti che le addizioni con un numero finito di termini non possono identificarsi con le serie, intese come addizioni con infiniti addendi.

Serie convergenti.

Al fine di introdurre le serie convergenti, abbiamo letto il paradosso di Achille e la tartaruga di Zenone di Elea (V sec. a.C.):

Un giorno il Piè veloce Achille, passeggiando in un bosco, incontrò una tartaruga.
Achille le chiese: “Che cosa stai facendo?”
La tartaruga rispose: “Mi sto allenando per una corsa, io sono la tartaruga più veloce di questo bosco”.
Achille si mise a ridere e volle sfidare la tartaruga, le propose così una gara che lei accettò.
Achille, considerandosi molto più veloce dell’avversario, decise di dare alla tartaruga un po’ di vantaggio. La gara iniziò ed Achille impiegò un po’ di tempo per arrivare al punto da dove era partita la tartaruga; nel frattempo lei aveva già percorso un pezzettino di strada.
Achille arrivò subito al nuovo punto dov’era la tartaruga, ma lei aveva già ripercorso un altro breve tratto. A questo punto entrambi si fermarono, si sedettero su una collinetta e cominciarono a parlare fra loro.
“Nonostante io sia più lenta per ora non sei riuscito a raggiungermi, o Achille Piè veloce.”
“Amica tartaruga, non gioire così presto; siamo solo a metà percorso, sono sicuro che prima della fine della corsa ti supererò e vincerò la sfida.”

“E va bene, continuiamo, ma lasciamo quel piccolo vantaggio che mi hai concesso.”
“Certo, non vorrei che la gara finisse troppo in fretta.”
Così ripartirono, con la tartaruga in vantaggio. Si fermarono ad ogni frazione di percorso, sempre con un po’ di vantaggio alla tartaruga.
Al traguardo la vincitrice fu proprio la tartaruga, e non Achille il Piè veloce, il quale, per colpa di quel piccolissimo vantaggio, non era riuscito a raggiungerla.

Dopo la lettura del brano, abbiamo cercato di darne un’interpretazione in termini matematici.
Schematizzando, Achille, indicato con \(A\) e la tartaruga, indicata con \(T\) partono inizialmente all’istante di tempo \(t_0\) rispettivamente dalle posizioni \(x_0\) e \(x_1> x_0\).

In un tempo \(t_1\), \(A\) raggiungerà la posizione \(x_1\) ma, nello stesso tempo, \(T\) avrà raggiunto una posizione \(x_2 > x_1\).

Per arrivare a \(x_2\), \(A\) impiegherà un tempo \(t_2\) ma in questo tempo \(T\) si sarà spostata in \(x_3\)

E così via. Il tempo necessario ad Achille per raggiungere la tartaruga sarà dato dunque dalla somma:
\[t_0 + t_1 + t_2 + t_3 +\ldots\]

Le riflessioni, a questo punto, sono due: o questa somma di infiniti numeri positivi ha come risultato un numero oppure Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Abbiamo dato dei valori numerici per risolvere l’evidente paradosso,
ipotizzando che il tempo impiegato da Achille per raggiungere la tartaruga si dimezzi ad ogni passo (\(t_1=\frac{1}{2}\), \(t_2=\frac{1}{2}t_1\), \(t_3=\frac{1}{2}t_2\) etc.)

(I numeri dati si possono interpretare considerando la velocità di Achille il doppio di quella della tartaruga e considerando unitario il vantaggio concesso da Achille alla tartaruga).

Quindi la somma da calcolare diventa la seguente:
\begin{equation}\label{serie1/2}
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots\quad\quad (3)
\end{equation}
Per convincerci che la somma degli infiniti addendi di (3) restituisce un numero finito abbiamo sviluppato il ragionamento riportato nella figura seguente.

Abbiamo disegnato un segmento \(AB\) di lunghezza unitaria. Lo abbiamo diviso a metà ottenendo il segmento \(AA_1\). Abbiamo poi diviso a metà il segmento \(A_1B\), ottenendo il segmento \(A_1A_2\) di lunghezza \(\frac{1}{4}\). E ancora, abbiamo diviso a metà il segmento \(A_2B\), ottenendo il segmento \(A_2A_3\) di lunghezza \(\frac{1}{8}\). E’ stato chiaro a tutti che tale procedimento di bisezione può essere effettuato all’infinito.

Quella che abbiamo ottenuto è la somma infinita delle ampiezze dei segmenti via via trovati

\[AA_1+ A_1A_2+ A_2A_3+ \ldots\]

che numericamente corrisponde alla (3) la quale, secondo le riflessioni degli studenti sull’evidenza geometrica della figura, dovrebbe dare \(1\).

Abbiamo notato che la nozione di convergenza non è un concetto che si presenta spontaneamente nei ragazzi, così come non si presentò immediatamente alla mente dei grandi matematici.

Infatti, ci sono voluti all’incirca duemila anni dopo Zenone, perché si tornasse a studiare con un certo rigore le serie numeriche, con Gregorio di San Vincenzo, nel XVII secolo.

Attraverso questi semplici esempi, abbiamo catturato l’attenzione degli allievi e li abbiamo fatti riflettere sul passaggio decisivo dalla concezione operativa a quella rigorosa, fornendo solo in seguito, la definizione del simbolo di sommatoria, di somma parziale e, quindi, di serie numerica. Quanto al concetto di limite, esso già era stato studiato dagli alunni in precedenza. Omettiamo, per brevità, di riportare le definizioni manualistiche dei suddetti concetti.

 

2. Interpretazione frattale della somma di una serie geometrica

Abbiamo introdotto la serie geometrica al fine di vederne alcune interessanti applicazioni e per cercare di far capire agli studenti come la matematica non sia una disciplina tediosa e fredda, ma al contrario, accattivante e creativa.

Sia \(q\) un numero compreso tra \(0\) e \(1\). La seguente serie
\begin{equation}\label{seriegeo}\sum_{k=0}^{+\infty} q^k=1+q+q^2+q^3+q^4+\ldots\quad\quad (4)
\end{equation}
si chiama serie geometrica ed il numero \(q\) è detto ragione.

Ci siamo proposte di dimostrare la seguente formula
\begin{equation}\label{sommageo}
\sum_{k=0}^{+\infty} q^k=\frac{1}{1-q}, \qquad q \in ]0,1[. \quad\quad (5)
\end{equation}
A tale scopo, seguiamo il ragionamento visualizzato nella figura sottostante.

Consideriamo \(1=1-q+q\). Geometricamente ciò significa che suddividiamo il segmento di lunghezza \(1\) in due parti: \((1-q)\) e \(q\). La prima parte viene tenuta (e verrà sommata ad altre parti proporzionali a \((1-q)\) durante i passi successivi), la seconda parte di lunghezza \(q\) subisce lo stesso procedimento.

Scriviamo infatti \(q=q-q^2+q^2\). Il segmento di lunghezza \(q\) viene quindi diviso in due parti: \((1-q)q\) e \(q^2\). La prima parte la sommiamo a \((1-q)\) e la seconda parte subisce un analogo procedimento di divisione, e così via.

Notiamo che il ragionamento appena seguito è di tipo frattale, nel senso che ad ogni passo la figura assomiglia a quella del passo precedente.

In tal modo si ottiene
\begin{align*}
\nonumber
1=&(1-q)+q=(1-q)+(1-q)q+q^2=\\&(1-q)+(1-q)q+(1-q)q^2+\ldots +(1-q)q^n+q^{n+1}=\\
\nonumber
& (1-q)(1+q+q^2+\ldots+q^n)+ q^{n+1}=\\
\nonumber
& (1-q)\sum_{k=0}^{n}q^k + q^{n+1}
\nonumber
\end{align*}

da cui, dividendo per \((1-q)\) abbiamo
\begin{equation}\label{sommaparziale}
\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\quad\quad (6)
\end{equation}
A questo punto, aumentando il numero delle iterazioni sempre di più, abbiamo notato che il termine \(q^{n+1}\) diventa via via più vicino a zero e quindi trascurabile, invece la somma finita a sinistra nella (6) diventa una serie. Matematicamente abbiamo fatto un passaggio al limite per \(n\) che tende a più infinito ad ambo i membri di (6). La (5) è, dunque, provata.

3. Applicazioni

Gli studenti conoscono fin dalla scuola secondaria di primo grado quella regola che serve a ricavare la frazione generatrice di un numero decimale periodico 1.

Abbiamo mostrato ai ragazzi come la somma (5) sia utile a scrivere sotto forma di frazione un numero periodico.

Considerando il numero periodico:  \(x=0,\overline{3}\),
l’abbiamo scritto come la somma degli infiniti numeri decimali non periodici:
\[x=0,\overline{3}= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003+ \ldots\]
Poi abbiamo trasformato in frazione ciascun numero decimale non periodico:
\[\frac{3}{10}+\frac{3}{10^2}+\frac{3}{10^3}+\ldots\]
e abbiamo messo in evidenza il \(3\):
\[ 3\Big (\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\ldots \Big ).\]
In tal modo il numero \(x=0,\overline{3}\)  è stato scritto in forma di serie:
\[x=0,\overline{3}=3\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{10^k}.\]
Abbiamo notato che la formula (5)  (con \(q=\frac{1}{10}\)) non si può immediatamente applicare alla serie precedente, dato che quest’ultima parte da \(k=1\) e non da \(k=0\). Per ovviare a tale incoveniente, abbiamo aggiunto e sottratto \(1\), e avendo scritto \(1=\frac{1}{10^0}\), abbiamo ottenuto una serie geometrica di ragione \(\frac{1}{10}\):
\[\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{10^k}+1-1 = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{10^k}+\frac{1}{10^0}-1=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{10^k}-1.\]
Applicando quindi la formula (5), abbiamo ricavato la frazione generatrice di \(0,\overline{3}\):
\[0,\overline{3}=3\Big (\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{10^k}+1-1\Big )=3\Big (\frac{1}{1-\frac{1}{10}}-1\Big )= 3\Big (\frac{10}{9}-1\Big )=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.\]

Nel corso del laboratorio i ragazzi si sono cimentati anche con altre applicazioni della serie geometrica, in particolar modo hanno realizzato e studiato la figura frattale del fiocco di neve di von Koch.

Partendo da un triangolo equilatero con lato \(1\), si divide ciascun lato in tre parti uguali costruendo sulla parte centrale di ogni lato un altro triangolo equilatero, esterno al triangolo iniziale, con il lato uguale alla terza parte del lato di partenza.

Ripetendo il procedimento più volte si ottiene una figura che ricorda un fiocco di neve.

Alcuni alunni, servendosi del software Geogebra, hanno realizzato il fiocco di neve, ripetendo per tre volte il procedimento descritto sopra.
Abbiamo misurato anche l’area del fiocco di neve. Dopo il primo passaggio, bisogna aggiungere dei triangoli di area sempre \(\frac{1}{9}\) della precedente. In tal modo, iterando, si ottiene una serie geometrica di ragione \(q\in ]0,1[\).

Pertanto l’area sarà finita.

Non è così per quanto riguarda il perimetro, perchè ad ogni passo il perimetro è maggiore del precedente di un fattore \(\frac{4}{3}=1,\overline{3}\).

Ciò vuol dire che al susseguirsi dei passaggi, il perimetro cresce ogni volta di \(\frac{4}{3}\). Dato che il fiocco di neve è ottenuto iterando all’infinito il procedimento frattale descritto sopra, il suo perimetro risulterà infinito.

Un altro gruppo di allievi ha realizzato su cartoncino utilizzando matita e righello il seguente poster.

 

1.[Regola: al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e senza il segno di periodo meno tutto ciò che c’è prima del periodo. Al denominatore si scrivono tanti \(9\) quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti \(0\) quante sono le cifre dell’antiperiodo. Esempio:
\(0,3\overline{5}=\displaystyle{\frac{35-3}{90}=\frac{32}{90}=\frac{16}{45}}.\)]

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Autore dell'articolo: Angelica Malaspina e Lucia Rosa

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