Soluzioni ai problemi del N.17 di Angolo Acuto, aprile 2018

Nelle pagine seguenti vengono riportate le soluzioni,  scelte fra le migliori ricevute, dei quesiti del terzo gruppo di problemi,  dal problema 9 al problema 12.

La Redazione ringrazia i partecipanti per l’impegno e la cura  dimostrata nella preparazione delle risposte ed auspica la loro partecipazione  anche al prossimo concorso!

Arrivederci ad ottobre!

Problema 9. (6 punti)
Costruire, con fiammiferi di uguale lunghezza, due triangoli simili, non congruenti e tali che due lati di un triangolo siano congruenti a due lati dell’altro. Qual è il numero minimo di fiammiferi necessario?

Soluzione proposta da Donadoni:

Indichiamo con \( (𝑎, 𝑏, 𝑐)\) e \(  (𝑏, 𝑐, 𝑑)\)  le misure dei lati dei due triangoli. Tali misure devono essere intere e rappresentano il numero di fiammiferi richiesti. Si vede immediatamente, dalle richieste sui due triangoli, che i due triangoli non possono essere né equilateri né isosceli, quindi \( 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑\) .

Dalla condizione di similitudine deve essere \(\frac{𝑏}{𝑎} =\frac{c}{𝑏} = \frac{𝑑}{𝑐}\).

Bisogna quindi trovare quattro interi in progressione geometrica con ragione maggiore di 1, ma minore di 2 per la costruibilità dei triangoli (disuguaglianza triangolare).

Tale rapporto deve essere pari a \( \frac{3}{2}\), dal momento che il più piccolo valore per il numeratore può essere 3.

Chiamato con \( 𝑥\)  il valore del lato più grande, abbiamo che la successione dei quattro lati deve essere \( 𝑥, \frac{2}{3}𝑥, \frac{4}{9}𝑥\)  𝑒 \( \frac{8}{27}𝑥\) .

Quindi per minimizzare la somma delle lunghezze \(𝑥\) deve essere uguale a \(27\) e quindi i quattro lati valgono \(  8, 12, 18\) e \(12, 18, 27\) e la loro somma vale \(95\).

Poi i triangoli si possono comporre in questo modo

e quindi il numero minimo di fiammiferi è \( 12 + 18 + 18 + 27 = 75\).

Problema 10. (5 punti)
Dal quadro, con \( n\) righe e \(n\) colonne,

viene scelto un numero \(x_1\) e la riga e la colonna che lo contengono vengono cancellate.

Dal quadro viene allora scelto un numero \(x_2\) e, come prima, la riga e la colonna che lo contengono vengono cancellate. Tale procedimento viene ripetuto finch\’e un solo numero \(x_n\) rimane nel quadro. Si determini la somma \( x_1+x_2+\dots +x_n.\)

Soluzione proposta da Miolato:

Si può notare come la matrice data si può scrivere come somma di due matrici:


Scegliere un elemento \(x_i\) dalla matrice di partenza è equivalente a scegliere un elemento nella prima matrice e quello nella seconda che si trova esattamente nella stessa riga e nella stessa colonna.

Dato che, con la strategia proposta dal problema, si sceglie sempre un elemento da ciascuna colonna una sola volta (poiché poi viene cancellata) e lo stesso vale per le righe, si ricava che:

\[ \sum_{i=1}^n x_i=\sum_{i=1}^n i+\sum_{i=1}^n(i-1)n=\sum_{i=1}^n i + n\sum_{i=1}^n(i-1)\]

Sapendo che \( \displaystyle{\sum_{1=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}}\), si ricava:

\[ \sum_{i=1}^n x_i = \frac{n(n+1)}{2}+n \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2+n}{2} +\frac{n^3-n^2}{2}= \frac{n^3+n}{2}.\]

 

Problema 11. (5 punti)
Un lucchetto ha una combinazione formata da un numero, di 7 cifre, le cui ultime quattro formano il numero \(1380\) (in quest’ordine). Se si cancellano queste ultime quattro cifre si ottiene un divisore della combinazione. Quanti tentativi ci vogliono, al più, per aprire il lucchetto?

Soluzione proposta dalla redazione:

Indichiamo con \( 𝑥, 𝑦 \) 𝑒 \(𝑧\) le prime tre cifre del numero della combinazione \(𝑥𝑦𝑧1380\).

\(\frac{𝑥𝑦𝑧1380}{𝑥𝑦𝑧} = 10000 + \frac{1380}{𝑥𝑦𝑧}\) e quindi il numero \(𝑥𝑦𝑧\) deve essere un divisore di \(1380\).
\(1380 = 2 ^2 \cdot 3\cdot 5\cdot23\) e i suoi divisori con massimo tre cifre sono
\[ 115,\; 138, \;230,\; 276, 345,\; 460,\; 690\]
il numero massimo di tentativi che si devono fare per aprire il lucchetto è quindi \(7\).

Problema 12. (4 punti)
Il segmento \(AB\) che misura \(2\) cm, è tangente alla circonferenza interna nel punto \(A\) e secante la circonferenza esterna nel punto \(B\). Qual è l’area della corona circolare ?

Soluzione proposta da Donadoni:

Disegniamo il diametro \( CD\) perpendicolare al segmento \( AB\) in \(A\).

Il triangolo \(CBD\) è rettangolo in \(B\) perché
l’angolo \(CBD\) insiste sul diametro \( CD\).
\( 𝐴𝐵^2 = 𝐴𝐶 \cdot 𝐴𝐷 = (𝑅 − 𝑟)(𝑅 + 𝑟) = 𝑅^2 − 𝑟^2\)

con ovvia notazione di simboli. L’area della corona circolare vale quindi \(𝜋 (𝑅^2 − 𝑟^2) = 𝜋 𝐴𝐵^2 = 4 𝜋 \; 𝑐𝑚^2\).

 

 

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Autore dell'articolo: admin

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