Concorso Angolo Acuto 2018: soluzioni ai quesiti del n.16

Nelle pagine seguenti vengono riportate le soluzioni, scelte fra le migliori ricevute, dei quesiti del secondo gruppo di problemi, dal problema 5 al problema 8.

Ricordiamo chi sono gli attuali partecipanti al Concorso Angolo Acuto 2018 (ma altri possono ancora divertirsi a partecipare!):

Per la categoria Appassionati: Mattia Miolato, studente del primo anno del corso di laurea in matematica a Padova (punteggio precedente \( 18\) punti) che totalizzando il punteggio di \( 3+4+5\) (su \( 3+4+5+6=18\)) si porta a \( 30\) punti.

Per la categoria Specialisti: il Prof. Adriano Donadoni , IIS Pesenti di Bergamo (punteggio precedente \( 18\) punti) che totalizzando il punteggio di \( 2+4+5+6\) (su \(3+4+5+6=18\)) si porta a \( 35\) punti.

Infine il Dott. Giuseppe Guarino di Potenza (punteggio precedente \( 5\) punti) che si ferma a \( 5\) punti.

La Redazione ringrazia tutti i partecipanti per l’impegno e la cura dimostrata nella preparazione delle risposte.

Ricordiamo che tutti i lettori possono ancora partecipare al Concorso 2018, proponendo la soluzione dei nuovi (ed ultimi) problemi!

Le regole del Concorso 2018 si trovano qui.

Problema 5. (3 punti) Quante parole (anche senza significato) di 3 diverse consonanti e 2 diverse vocali si possono formare con le lettere della parola “Immaginazione” ?

Soluzione proposta da Donadoni:

Dobbiamo comporre parole da 5 lettere con 3 diverse consonanti scelte tra le quattro lettere “m, g, n, z” econ 2 diverse vocali scelte tra le quattro vocali “i, a, o, e”.

Possiamo scegliere le 3 consonanti in \( {4 \choose 3}=4\) modi diversi, mentre possiamo scegliere le 2 vocali in \( {4 \choose 2} = 6\) modi.

Per ogni scelta delle 3 consonanti e delle 2 vocali , possiamo fare tutte le \( 5 !\) permutazioni senza ottenere mai parole uguali.

Quindi possiamo comporre \( 4 \cdot 6 \cdot 5! = 2880 \) parole diverse.

 

Problema 6. (4 punti) Per quali valori del numero intero \( h>11\) la frazione \[\frac{3h+58}{h-11}\] è anch’essa un numero intero positivo?

Soluzione proposta da Miolato:

Prima di affrontare il problema è necessario riscrivere la frazione data. Infatti:
\[ \frac{3 h+58}{h-11} =\frac{(3 h – 33)+(33 + 58)}{h-11}=3+ \frac{91}{h-11}.\]

Sapendo ciò, si osserva che la frazione data assume valori interi se e soltanto se \(h – 11\) divide \(91\). Questo accade quando \(h – 11\) è un divisore di \(91\).
Fattorizzando, si ricava che \( 91 = 7\cdot 13\), quindi i divisori di \(91\) sono \(1,7, 13 \) e \(91\) . I possibili valori di \(h\) ( con \(h > 11\) ), affinchè la frazione rappresenti un intero, sono dunque:

\[h – 11 = 1 \Rightarrow h = 12 \Rightarrow 3 +\frac{91}{ 12 – 11}= 92\]

\[h – 11 = 7 \Rightarrow h = 18 \Rightarrow 3 +\frac{91}{ 18 – 11}= 16\]

\[h – 11 = 13 \Rightarrow h = 24 \Rightarrow 3 +\frac{91}{ 24 – 11}= 10\]

\[h – 11 = 91 \Rightarrow h = 102 \Rightarrow 3 +\frac{91}{ 102 – 11}= 4.\]

 

Problema 7. (5 punti) Per una festa di compleanno, Arianna e Bruno vogliono realizzare dei coriandoli utilizzando 5 fogli di carta. Ne prendono alcuni (non si sa quanti) e dividono ciascuno di essi in 5 foglietti di carta. Poi prendono alcuni di questi foglietti e dividono ancora ciascuno di questi in 5 parti. Proseguono così per un certo numero di volte.
Alla fine, Arianna dice che ci sono, in tutto, 801 pezzi di carta, mentre Brunoso stiene che i pezzi di carta sono 800.

(A) Arianna ha sicuramente torto mentre Bruno potrebbe aver ragione;

(B) Bruno ha sicuramente torto mentre Arianna potrebbe aver ragione;

(C) hanno sicuramente torto sia Arianna che Bruno;

(D) in linea di principio, entrambi potrebbero aver ragione.

Soluzione proposta da Miolato:

Partendo da \(5\) fogli di carta, qualunque sia il primo passaggio, avrò che, chiamato \(k\) il numero di fogli spezzettati, il numero di fogli sarà:
\[5k + (5-k) = 4k + 5 \equiv 1\; (\text{mod} \; 4).\]

Al secondo passaggio si spezzetteranno \(p\) fogli (con \(p \leq 5k\)), scelti dai \(5k\) ottenuti prima e ci saranno quindi:
\[5p + (5k – p) + (5 – k) \equiv 4p + 4k + 5 \equiv 1\; (\text{mod}\;  4)\]

Continuando ad iterare la procedura in questo modo, si può notare come il numero di coriandoli ottenuto, \(x\), debba essere congruo a \(1\) modulo \(4\):
\[x \equiv 1\; (\text{mod}\;  4)\]

Tornando alle affermazioni di Arianna e Bruno, si ha che:
\(\bullet\) Arianna afferma che ci sono \(801\) pezzi di carta, ciò è possibile in quanto
\(801 \equiv 1\; (\text{mod}\;  4)\);
\(\bullet\) Bruno, invece, afferma che ci sono \(800\) pezzi di carta. Ciò è certamente
impossibile poichè \(800 \equiv 0 \;(\text{mod} \; 4)\).
La risposta corretta è dunque B.

 

Problema 8. (6 punti) Un pentagono convesso \(ABCDE\) ha la proprietà che le aree dei \(5\) triangoli

\[ABC, BCD, CDE, DEA, EAB \]

sono tutte pari a \(1\). Quanto vale l’area del pentagono?

Soluzione proposta da Donadoni:

In riferimento alla figura, dall’ipotesi per cui i triangoli \( AED \) e \(CDE\) hanno la stessa area, si deduce che hanno la stessa altezza relativa al lato ED in comune e quindi \(AC\, // \, ED\).

Analogamente si deduce che
\[DB \, //\, AE \;(1) \quad\text{e}\quad AD \, // \, BC \;(2).\]

Quindi dalla (1) si deduce che \(AEDF\) è un parallelogramma e quindi l’area di \(AED\) è uguale all’area di \( AFD\) ed è uguale a \( 1\).

Dalla (2) si ha che \( ABCD\) è un trapezio.

Vediamo di trovare quanto vale l’area del triangolo \(BFA\) e abbiamo trovato l’area del pentagono, perchè sappiamo che le aree dei triangoli \( AED\), \( AFD\) e \( BCD\) valgono tutte \(1\).

\(Area(DFC) : Area(AFD) = Area (FCB) : Area(BFA)\)

poichè le coppie di triangoli \((DFC , AFD)\)   \((FCB , BFA)\) hanno la stessa altezza e le coppie di triangoli \((DFC, FCB)\) e \((AFD, BFA)\) condividono la stessa base.

Inoltre \(Area(DFC)=Area(BFA)\) perchè  ottenibili come differenza dei triangoli di stessa area \(DCB\) e \(CBA\) meno il triangolo in comune \(FCB.\)

\[Area(BFA) : 1 = (1-Area (BFA)) : Area(BFA)\]

da cui si ricava   \(Area(BFA)=\displaystyle\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}.\)

E quindi l’area del pentagono vale \( 3 + \displaystyle\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}=\displaystyle\frac{5+\sqrt{5}}{2}\).

 

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Autore dell'articolo: admin

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